Question

水平方向存在垂直紙面向里的有界勻強磁場，磁感應強度為B，磁場的高度為2L，一不可伸長的輕繩一端系在正方形單匝線圈ab邊的中點，另一端跨過定滑輪與重物相連，已知線圈的質量為m、邊長為L，總電阻為R；重物的質量是線圈的2倍，開始時線圈ab 邊離磁場下邊界距離為2L，現由靜止開始同時釋放重物與線圈，整個過程中重物未落地，重力加速度為g，不計滑輪的質量、空氣阻力及摩擦．
（1）求ab邊進入磁場的瞬間，繩上的張力T；
（2）已知線圈向上運動進出磁場的兩個邊界的過程中運動情況完全相同，求線圈穿過磁場的整個過程中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）從如圖所示的位置由靜止釋放重物，線框上升的過程中，系統的機械能守恒，即可由機械能守恒定律求出線框到達磁場邊界時速度大�。�由E=BL₁v、I=

E

R

、F=BIL，求出線框進入磁場時的安培力F，再根據牛頓第二定律對重物和線框分別列式，即可求得繩上的張力T；
（2）由題，線圈向上運動進出磁場的兩個邊界的過程中運動情況完全相同，線框穿出磁場上邊界時的速度等于剛進入磁場時的速度，對整個穿過磁場的過程，根據能量守恒求解線圈穿過磁場的整個過程中產生的焦耳熱．

解答：解：（1）設線圈ab邊剛好進入磁場時，速度為v₁，加速度為a，對兩個物體組成的系統，根據機械能守恒得：
      2mg?2L-mg?2L=

1

2

(2m+m)

v

2 1

   ①
ab邊上的感應電動勢為：E=BL₁v  ②
線圈中的感應電流為：I=

E

R

     ③
ab邊所受的安培力為：F=BIL    ④
設繩上的拉力為T，選加速度作為正方向，對重物與線圈分別利用牛頓第二定律可得：
    T-2mg=2ma            ⑤
    F+mg-T=ma            ⑥
聯立以上幾式可得：T=

4mg

3

+

4B2L2 3gL

9R

（2）設線圈的cd邊剛好進入磁場時速度為v₂，由于線圈向上運動進出磁場的兩個邊界過程的運動情況完全一樣，故線圈ab邊到達磁場上邊界時的速度必定是v₁，線圈cd邊剛好出磁場時速度為v₂．整個線圈在磁場中時，由機械能守恒有：
   2mgL-mgL=

1

2

(2m+m)

v

2 1

-

1

2

(2m+m)

v

2 2

   ⑦
對整個過程中，由能量守恒知：系統的機械能減少等于產生的內能，則有：
   Q=（2mg?3L-mg?3L）+

1

2

(2m+m)

v

2 1

-

1

2

(2m+m)

v

2 2

   ⑧
故焦耳熱為：Q=4mgL                          ⑨
答：
（1）ab邊進入磁場的瞬間，繩上的張力T為

4mg

3

+

4B2L2 3gL

9R

；
（2）線圈穿過磁場的整個過程中產生的焦耳熱是4mgL．

點評：本題力學知識與電磁感應的綜合，關鍵要認真審題，明確物體運動的過程，及過程中受力及力的做功情況，選擇合適的規律即可求解．