Question

（2013?南開區二模）如圖所示：輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動；另一端連接一帶電小球P，其質量m=2×10^-2kg，電荷量q=0.2C．將彈簧保持原長拉至水平后，以初速度v₀=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小v=15m/s．若O、O₁相距R=1.5m，小球P在點O₁與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10^-1kg的靜止絕緣小球N相碰．碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=lT的勻強磁場．此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5m的勻速圓周運動．小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10m/s²．則．
（1）判斷小球P所帶電性，并說明理由．
（2）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈性勢能變化了多少？
（3）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度．

Answer 1

分析：（1）P在豎直平面內做勻速圓周運動，受力平衡，即可判斷所帶電性；
（2）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功即為彈性勢能變化量；
（3）因為磁場方向沒有說明，所以同樣要分情況討論，分別求不同情況下t_N與t_P的大小是否相等．

解答：解：（1）由題意知：N碰后做平拋，小球P在豎直平面內做勻速圓周運動，故P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷；
（2）設彈簧彈力做功為W，有mgh+W=

1

2

mv2-

1

2

mv02
帶入數據得：W=-2.05J，△E_p=-W=2.05J；
（3）設P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向
由：qv₁B=m

v12

r

  
得：v₁=

Bqr

m

=5m/s；
若P、N碰后速度同向時：mv=mv₁+MV
計算可得V=1.25m/s＜v₁，這種碰撞不能實現；
設P、N瞬時必為反向運動，有：mv=-mv₁+MV
得：V=2.5m/s；
設P、N速度相等時，N經過的時間為t_N，P經過的時間為t_P，此時N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，有：
cosθ=

V

V1

=

V

v1

解得：θ=60°
gt_N=V₁sinθ=v₁sinθ
代入數據得：t_N=

3

4

s；
對小球P，其圓周運動的周期為T，有：T=

2πr

v1

=

2πm

qB

=

π

5

s
即t_N＜T
P經過t_P時，對應的圓心角為α，有：t_P=

α

2π

T
當磁感應強度B的方向垂直于紙面向外時，若P、N的速度相同，如圖可知，有：α₁=π+θ
聯立相關方程得：t_P1=

2π

15

s
比較得：t_N≠t_P1，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同；
當磁感應強度B的方向垂直于紙面向里時，若P、N的速度相同，如圖可知，有：α₂=π-θ
同上得：t_P2=

π

15

s
比較得：t_N≠t_P2，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同；
答：（1）小球P帶正電；
（2）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈性勢能變化了2.05J；
（3）小球P、N碰撞后不能在某一時刻具有相同的速度．

點評：該題考查了帶電粒子在電場、磁場中的運動，涉及到平拋運動和圓周運動的相關知識，速度相同包括大小相等和方向相同，并且要討論磁場的方向，難度特別大，屬于難題．