Question

如圖所示，水平地面上方被豎直線MN分隔成兩部分，M點左側地面粗糙，與B球間的動摩擦因數為μ=0.5，右側光滑．MN右側空間有一范圍足夠大的勻強電場．在O點用長為R=0.5m的輕質絕緣細繩，拴一個質量m_A=0.04kg，帶電量為q=+2×10^-4C的小球A，在豎直平面內以v=10m/s的速度做順時針勻速圓周運動，小球A運動到最低點時與地面剛好不接觸．處于原長的彈簧左端連在墻上，右端與不帶電的小球B接觸但不粘連，B球的質量m_B=0.02kg，此時B球剛好位于M點．現用水平向左的推力將B球緩慢推至P點，彈簧仍在彈性限度內且此時彈簧的彈性勢能E_P=0.26J，MP之間的距離為L=10cm，當撤去推力后，B球沿地面向右滑動恰好能和A球在最低點處發生正碰，并瞬間成為一個整體C（A、B、C均可視為質點），碰撞前后電荷量保持不變，碰后瞬間立即把勻強電場的場強大小變為E=1.3×10⁴N/C，電場方向不變．求：（取g=10m/s²）
（1）A、B兩球在碰撞前勻強電場的大小和方向；
（2）A、B兩球在碰撞后瞬間整體C的速度大小及繩子拉力大小；
（3）整體C運動到最高點時繩的拉力大小．

Answer 1

（1）要使小球在豎直平面內做勻速圓周運動，必須滿足
F_電=Eq=m_Ag
所以E=

mAg

q

=2×10³N/C
方向豎直向上
（2）設小球B運動到M點時速度為v_B，由功能關系得
EP-μmBgL=

1

2

mB

v

2B

v_B=5m/s
兩球碰后結合為C，設C的速度為v₁，由動量守恒定律得
m_Av-m_Bv_B=m_Cv₁
v₁=5m/s
電場變化后，因E'q-m_Cg=2N
mc

v 21

R

=3N
mc

v 21

R

＞(E′q-mcg)
所以F1-mCg+E′q=mC

v 21

R

則F₂=1N
（3）設到最高點時速度為v₂
由動能定理得：

1

2

mC

v

22

-

1

2

mC

v

21

=E′q2R-mCg2R
在最高點由牛頓運動定律得：F2+mCg-E′q=mc

v 22

R

求得F₂=13N
答：（1）A、B兩球在碰撞前勻強電場的大小為2×10³N/C，方向豎直向上；
（2）A、B兩球在碰撞后瞬間整體C的速度大小為5m/s，繩子拉力大小為1N；
（3）整體C運動到最高點時繩的拉力大小為13N．