Question

【題目】如圖，ABD為豎直平面內的軌道，其中AB段是水平粗糙的、BD段為半徑R=0.4m的半圓光滑軌道，兩段軌道相切于B點．小球甲從C點以速度υ0沿水平軌道向右運動，與靜止在B點的小球乙發生彈性碰撞．已知甲、乙兩球的質量均為m，小球甲與AB段的動摩擦因數為μ=0.5，C、B距離L=1.6m，g取10m/s2 ． （水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質點）

（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；
（2）在滿足（1）的條件下，求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右運動，增大甲的質量，保持乙的質量不變，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設乙到達最高點的速度為vD，乙離開D點到達水平軌道的時間為t，乙的落點到B點的距離為x，乙恰能通過軌道最高點，則

mg=m …①

乙做平拋運動過程有：

2R= gt2…②

x=vDt…③

聯立①②③得：x=0.8 m…④

（2）

解：設碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、v乙，取向右為正方向，根據動量守恒定律和機械能守恒定律有

mvB=mv甲+mv乙 …⑤

mvB2= mv甲2+ mv乙2…⑥

聯立⑤⑥得：v乙=vB⑦

對乙從B到D，由動能定理得：﹣mg2R= mv02﹣ mv乙2…⑧

聯立①⑦⑧得：vB=2 m/s…⑨

甲從C到B，由動能定理有：﹣μmgL= mvB2﹣ mv02⑨

解得：v0=6m/s

（3）

解：設甲的質量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為vM、vm，取向右為正方向，根據動量守恒定律和機械能守恒定律有：

MvB=MvM+mvm…⑩

MvB2= MvM2+ mvm2

聯立得⑩（11）得：vm=

由M=m和M≥m，可得 vB≤vm＜2vB

設乙球過D點時的速度為vD'，由動能定理得：

﹣mg2R= mv′02﹣ mvm2

聯立⑨（13）（14）得：2 m/s≤vD'＜8 m/s

設乙在水平軌道上的落點距B點的距離為x'，有：x'=vD't

聯立②（15）（16）得：0.8 m≤x'＜3.2m

【解析】（1）乙恰能通過軌道的最高點D時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得乙通過D點時的速度，再由平拋運動的規律求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；（2）對于甲乙碰撞，根據動量守恒定律和機械能守恒定律可以知道它們交換速度．對乙從B到D，由動能定理求得碰后瞬間乙的速度．對甲從C到B，由動能定理求得速度υ0；（3）根據動量守恒定律和機械能守恒定律得到碰后乙速度的范圍，再由平拋運動的規律求得乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍．
【考點精析】本題主要考查了向心力和機械能守恒及其條件的相關知識點，需要掌握向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力；在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變才能正確解答此題．