Question

半徑R=4500km的某星球上有一傾角為30°的固定斜面，一質量為1kg的小物塊在力F作用下從靜止開始沿斜面向上運動，力F始終與斜面平行．如果物塊和斜面間的摩擦因數μ=

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，力F隨時間變化的規律如圖所示（取沿斜面向上方向為正），2s末物塊速度恰好又為0．引力恒量G=6.67×10^-11Nm²/kg²．試求：
（1）該星球的質量大約是多少？
（2）要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，至少需要多大速度？（計算結果保留二位有效數字）

Answer 1

分析：（1）由圖可知，讀出力的大小的大小．分前后兩個1s時間進行研究，根據牛頓第二定律和運動學公式列方程聯立解出重力加速度；物體在星球上，重力等于萬有引力，列式求出該星球的質量．
（2）要使該物體不再落回星球，必須使重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出最小的速度．

解答：解：（1）設星球表面的重力加速度為g．
小物塊在力F₁=20N作用過程中有：F₁-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
1s末速度為 v=a₁t₁
小物塊在力F₂=4N作用過程中有：F₂+mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
且有 v=a₂t₂
聯立以上四式，解得 g=8m/s²
由G

Mm

R2

=mg
得 M=

gR2

G

=

8×(4500×103)2

6.67×10-11

kg=2.4×10²⁴kg
（2）要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，物體的最小速度為v′，必須滿足：mg=m

v′2

R

得v′=

gR

=

8×4500×103

=6×10³m/=6.0km/s
答：
（1）該星球的質量大約是2.4×10²⁴kg．
（2）要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，至少需要6.0km/s的速度．

點評：本題是萬有引力定律與牛頓定律的綜合應用，第二題，由重力或萬有引力提供向心力，求出該星球的第一宇宙速度．