Question

【題目】如圖所示，輕質長繩水平地跨在相距2的兩個小定滑輪A、B上，質量為m的物塊懸掛在繩上O點，O與A、B兩滑輪的距離相等．在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg．先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態，靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持CM兩端的拉力F 不變．

(1)當物塊下落距離h為多大時，物塊的加速度為零？

(2)在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為多少？

(3)求物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H.

Answer 1

【答案】（1） （2）（3） ，

【解析】

試題由靜止釋放后，由于繩OC和繩OB對物塊的合力小于重力，所以物塊向下先作加速運動，隨著物塊的下落，兩繩間的夾角逐漸減小．因為繩子對物塊的拉力大小不變，恒等于F，所以隨著兩繩間的夾角減小，兩繩對物塊拉力的合力將逐漸增大，物塊所受的合力逐漸減小，向下加速度逐漸減小．當物兩繩的合力等于物塊的重力時，即塊的合外力為零時，速度達到最大值vm．故加速度為零時重力等于兩繩的合力．之后，因為兩繩間夾角繼續減小，兩繩合力大于物塊的重力，物塊所受合外力豎直向上，且逐漸增大，物塊將作加速度逐漸增大的減速運動．當物塊下降速度減為零時，物塊豎直下落的距離達到最大值H．當物塊的加速度為零時，由共點力平衡條件可求出相應的θ角，再由θ角求出相應的距離h，進而求出克服C端恒力F所做的功．對物塊運用動能定理可求出物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H．

（1）故加速度為零時應有重力等于兩繩的合力．

（2）由加速度為零時下落的高度h，可以由幾何關系解出C點向上運動的距離，從而可以求出F做的功WF，故克服力F做的功為﹣WF

（3）由于下落h時速度為vm，故由動能定理即可求出vm；物塊速度為零時下落距離為H，由動能定理求解H．

解：（1）當物塊所受的合外力為零時，加速度為零，此時物塊下降距離為h．因為F恒定，所以兩繩對物塊拉力大小分別為F，兩繩與豎直方向夾角均為θ，由平衡條件知：

2Fcosθ=mg2θ=120°，所以θ=60°，

由圖知：h=Ltan30°=L ①

（2）物塊下落h時，繩的C、D端均上升h′由幾何關系可得：h′=﹣L ②

克服C端恒力F做的功為：W=Fh′③

由①②③式聯立解得：W=（﹣1）mgL

（3）在物塊下落過程中，共有三個力對物塊做功．重力做正功，兩端繩子對物塊的拉力做負功．兩端繩子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功．因為物塊下降距離h時動能最大．由動能定理得：mgh﹣2W=④

將①②③式代入④式解得：vm=

當物塊速度減小為零時，物塊下落距離達到最大值H，繩C、D上升的距離為H’．由動能定理得：

mgH﹣2mgH′=0，又H′=﹣L，

聯立解得：H=．

答：（1）當物塊下落距離h為時，物塊的加速度為零．

（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為（﹣1）mgL．

（3）物塊下落過程中的最大速度vm為，最大距離H為．