Question

如圖，足夠長平行金屬導軌內有垂直紙面向里的勻強磁場，金屬桿ab與導軌垂直且接觸良好，導軌右端通過電阻與平行金屬板AB連接．已知導軌相距為L；磁場磁感應強度為B；R₁、R₂和ab桿的電阻值均為r，其余電阻不計；板間距為d、板長為4d；重力加速度為g，不計空氣阻力．
如果ab桿以某一速度向左勻速運動時，沿兩板中心線水平射入質量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出；如果ab桿以同樣大小的速度向右勻速運動時，該微粒將射到B板距左端為d的C處．
（1）求ab桿勻速運動的速度大小v；
（2）求微粒水平射入兩板時的速度大小v₀；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，試討論ab桿向左勻速運動的速度范圍．

Answer 1

（1）帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，此時電場力與重力平衡，設場強為E，則：
mg=Eq①
此時平行板間電壓為；
U=Ed②
導體棒感應電動勢為：E_感=BLv
由電路歐姆定律得：U=

1

3

E_感③
聯立以上可得：v=

3mgd

BLq

④
（2）ab桿以同樣大小的速度向右勻速運動時，平行板間帶電粒子所受合力方向向下，大小為；
F=Eq+mg=2mg⑤
粒子做類平拋運動，可知加速度為：
a=2g⑥
打到板的時間為t，則：

d

2

=

1

2

at^2⑦
d=v₀t⑧
聯立解得：v₀=

2gd

⑨
（3）ab桿向左勻速運動時，電場力與重力方向相反，棒速度較小則向下偏，較大則向上偏，粒子做類平拋運動，若粒子恰好射出電場，在水平位移應為L=4d時間內，同時豎直位移恰為

d

2

，
故粒子運動時間：
4d=v₀t₁⑩
若向下偏，最小加速度大小為a₁，則豎直方向位移為：

1

2

a₁

t

21

=

d

2

（11）
⑦⑧⑩（11）得：a1=

a

4

=

g

8

（12）
設此時導體棒速度最小為v_min，應有：
a₁=

mg- BLvmin 3 d q

m

=g-

BLvminq

3md

（13）
解得v_min=

21mg

32Bq

，
若導體棒速度最大為v_max，此時粒子向上偏轉，應有：
a₁=

a

′1

=

BLvmax 3 d q-mg

m

=

BLvmaxq

3dm

-g
解得：v_max=

27mg

32Bq

ab桿向左勻速運動的速度范圍為

21mg

32Bq

＜v＜

27mg

32Bq

答：（1）ab桿勻速運動的速度為

3mgd

BLq

（2）微粒水平射入兩板時的速度

2gd

（3）ab桿向左勻速運動的速度范圍為

21mg

32Bq

＜v＜

27mg

32Bq