Question

如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°．一長為L的輕繩一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體．物體以速度v繞圓錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動．（結果可保留根式）
（1）當v1=

1 6 gL

時，求繩對物體的拉力；
（2）當v2=

3 2 gL

時，求繩對物體的拉力．

Answer 1

分析：求出物體剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出該臨界速度．當速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答：解：當物體離開錐面時：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=

mv2

R

，R=Lsinθ
解得v=

3 gl 6

．
（1）v₁＜v時，有T1sinθ-N1cosθ=

mv12

R

，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得T1=

3 3 +1

6

mg．
故當v1=

1 6 gL

時，求繩對物體的拉力T1=

3 3 +1

6

mg．
（2）v₂＞v時，球離開錐面，設線與豎直方向上的夾角為α，
則T₂cosα-mg=0
T2sinα=

mv22

R2

R₂=Lsinα
解得T₂=2mg．
故當v2=

3 2 gL

時，求繩對物體的拉力T₂=2mg．

點評：解決本題的關鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運用牛頓第二定律求解．