Question

【題目】如圖所示，質量為2kg、左端有擋板的長木板置于水平地面上，上表面光滑，下表面與地面間的動摩擦因數為0.2。一輛固定有電動機的小車，質量共2kg，放置在木板上，電動機可收攏與擋板拴接的水平輕繩，初始時離擋板的距離為4m。開啟電動機收攏輕繩使小車勻加速運動到擋板處。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，空氣阻力不計，取g =10m/s2。

(1)若運動時間為2s，且木板不動，求輕繩的拉力大小；

(2)若要運動時間最短，且木板不動，求加速過程中輕繩拉力的最大功率；

(3)若小車與擋板碰撞后結合成一個牢固整體（碰撞時間極短，同時電動機停止運轉），求最終停止時，木板與初位置距離的最大值及對應的輕繩拉力。

Answer 1

【答案】(1)4N；(2)45W；(3)xm=2m；F=8N

【解析】

(1)對小車的勻加速過程，有：

F=ma ①

②

代入數據，聯立①②式解得小車所受牽引力

F=4N

(2)要木板不移動，繩對木板的拉力F應滿足

③

要小車運動時間最短，繩對木板的拉力F應為最大

故對小車，有

④

小車與擋板相碰前瞬間，拉力對小車做功的功率達最大

⑤

代入數據，聯立④⑤式解得最大功率

（44.8、45.1）

(3)須分為“木板不動”和“木板移動”兩種情況，分別討論如下：

①若小車加速時木板不動，對小車加速、與板相碰、共同減速到停的過程，分別有

，mv=2mv共，

聯立解得木板移動距離

⑥

即時，木板移動距離最大為xm=2m ⑦

②若小車加速過程木板移動，即，從起動到碰，對小車和木板，分別有：

⑧

，，

代入數據，聯立解得木板向右移動距離

⑨

及碰前瞬間車與木板的速度大小

， ⑩

對碰撞過程，有

mv1-mv2=2mv共

代入⑩式，解得碰后瞬間共同速度方向向左，大小

從共速到停下，對整體，有

代入數據，解得木板向右移動距離

木板總位移

x板=x板2-x板1

代入，整理得

代入，得

-2m<x板<2m

綜合兩種情形得木板移動的最大距離xm=2m，對應F=8N。