Question

如圖所示,一個質量為m的小孩在平臺上以加速度a做勻加速助跑,目的是抓住在平臺右端的、上端固定的、長度為L的輕質懸繩,并在豎直面內做圓周運動.已知輕質繩的下端與小孩的重心在同一高度,小孩抓住繩的瞬間重心的高度不變,且無能量損失.若小孩能完成圓周運動,則:

(1) 小孩抓住繩的瞬間對懸線的拉力至少為多大?
(2) 小孩的最小助跑位移多大?
（3）設小孩在加速過程中，腳與地面不打滑，求地面對腳的摩擦力大小以及摩擦力對小孩所做的功。

Answer 1

（1）F=6mg，v₁²=5gL。（2）x==（3）地面對小孩的摩擦力位移為零，摩擦力對小孩做功為零

解：(1)小孩能完成豎直面內的圓周運動，則在最高點最小的向心力等于小孩所受的重力。設小孩在豎直面內最高點運動的速度為v₂.，依據牛頓第二定律小孩在最高點有: mg=m…                                  ………………………………………2分
設小孩在最低點運動的速度為v₁，小孩抓住懸線時懸線對小孩的拉力至少為F，
依據牛頓第二定律小孩在最低點有：F—mg=m…      ………………………………2分
小孩在豎直面內做圓周運動，依據機械能守恒定律可得， mv₂²+2mgL=mv₁²………2分
聯立以上三式解得：F=6mg，v₁²=5gL。…                ……………………………2分
依據牛頓第三定律可知,小孩對懸線的拉力至少為6mg。…   …………………………1分
(2)小孩在水平面上做初速度為零的勻加速直線運動，根據題意，小孩運動的加速度為a，末速度為v₁,，根據勻變速直線運動規律，v₁²=2ax…        …………………………2分
解得：x==…                        ………………………………………2分
（3）由牛頓運動定律可知摩擦力大小f="ma" …               ………………………2分
由于地面對小孩的摩擦力位移為零，所以摩擦力對小孩做功為零。………………………3分