Question

【題目】（18分） 如圖所示，金屬導軌MNC和PQD，MN與PQ平行且間距為L，所在平面與水平面夾角為α，N、Q連線與MN垂直，M、P間接有阻值為R的電阻；光滑直導軌NC和QD在同一水平面內，與NQ的夾角都為銳角θ。均勻金屬棒ab和ef質量均為m，長均為L，ab棒初始位置在水平導軌上與NQ重合；ef棒垂直放在傾斜導軌上，與導軌間的動摩擦因數為μ（μ較小），由導軌上的小立柱1和2阻擋而靜止。空間有方向豎直的勻強磁場（圖中未畫出）。兩金屬棒與導軌保持良好接觸。不計所有導軌和ab棒的電阻，ef棒的阻值為R，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，忽略感應電流產生的磁場，重力加速度為g。

（1）若磁感應強度大小為B，給ab棒一個垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平導軌上沿運動方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，求此過程ef棒上產生的熱量；

（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，求通過ab棒某橫截面的電荷量；

（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平導軌上向右勻速運動，并在NQ位置時取走小立柱1和2，且運動過程中ef棒始終靜止。求此狀態下最強磁場的磁感應強度及此磁場下ab棒運動的最大距離。

Answer 1

【答案】（1）Qef＝；（2）q＝；（3）Bm＝，方向豎直向上或豎直向下均可，xm＝

【解析】（1）由于ab棒做切割磁感線運動，回路中產出感應電流，感應電流流經電阻R和ef棒時，電流做功，產生焦耳熱，根據功能關系及能的轉化與守恒有：＝QR＋Qef①

根據并聯電路特點和焦耳定律Q＝I2Rt可知，電阻R和ef棒中產生的焦耳熱相等，即QR＝Qef②

由①②式聯立解得ef棒上產生的熱量為：Qef＝

（2）設在ab棒滑行距離為d時所用時間為t，其示意圖如下圖所示：

該過程中回路變化的面積為：ΔS＝[L＋（L－2dcotθ）]d ③

根據法拉第電磁感應定律可知，在該過程中，回路中的平均感應電動勢為：＝④

根據閉合電路歐姆定律可知，流經ab棒平均電流為：＝⑤

根據電流的定義式可知，在該過程中，流經ab棒某橫截面的電荷量為：q＝⑥

由③④⑤⑥式聯立解得：q＝

（3）由法拉第電磁感應定律可知，當ab棒滑行x距離時，回路中的感應電動勢為：e＝B（L－2xcotθ）v2⑦

根據閉合電路歐姆定律可知，流經ef棒的電流為：i＝ ⑧

根據安培力大小計算公式可知，ef棒所受安培力為：F＝iLB ⑨

由⑦⑧⑨式聯立解得：F＝ ⑩

由⑩式可知，當x＝0且B取最大值，即B＝Bm時，F有最大值Fm，ef棒受力示意圖如下圖所示：

根據共點力平衡條件可知，在沿導軌方向上有：Fmcosα＝mgsinα＋fm

在垂直于導軌方向上有：FN＝mgcosα＋Fmsinα

根據滑動摩擦定律和題設條件有：fm＝μFN

由⑩式聯立解得：Bm＝

顯然此時，磁感應強度的方向豎直向上或豎直向下均可

由⑩式可知，當B＝Bm時，F隨x的增大而減小，即當F最小為Fmin時，x有最大值為xm，此時ef棒受力示意圖如下圖所示：

根據共點力平衡條件可知，在沿導軌方向上有：Fmincosα＋fm＝mgsinα

在垂直于導軌方向上有：FN＝mgcosα＋Fminsinα

由⑩式聯立解得：xm＝