Question

如圖所示，質量為M的長板靜置在光滑的水平面上，左側固定一勁度系數為K且足夠長的水平輕質彈簧，右側用一根不可伸長的細繩連接于墻上（細繩張緊），細繩所能承受的最大拉力為T．讓一質量為m、初速為v₀的小滑塊在長板上無摩擦地對準彈簧水平向左運動．試求：
（1）在什么情況下細繩會被拉斷？
（2）細繩被拉斷后，長板所能獲得的最大加速度多大？
（3）滑塊最后離開長板時，相對地面速度恰為零的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）假設繩子不斷，當滑塊速度減為零時，彈性勢能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據機械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當滑塊與長木板速度相等時，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開時滑塊速度，然后根據動量守恒和機械能守恒定律列式聯立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長木板分離后，速度恰好為零，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯立求解即可．

解答：解：（1）m對彈簧的彈力大于等于細繩的拉力T時細繩將被拉斷，有：
T=kx₀    ①

1

2

mv02≥

1

2

kx02  ②
解①②式得v0≥

T

mk

（2）細繩剛斷時小滑塊的速度不一定為零，設為v₁，由機械能守恒有：

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

kx02
∴v1=

v02- T2 mk

    ③
當滑塊和長板的速度相同時，設為v₂，彈簧的壓縮量x最大，此時長板的加速度a最大，由動量守恒和機械能守恒有
mv₁=（M+m）v₂    ④

1

2

mv02=

1

2

(m+M)v22+

1

2

kx2  ⑤
kx=aM  ⑥
代入③式解④⑤⑥式得a=

1

M

m m+M (kMv02+T2)

（3）設滑塊離開長板時，滑塊速度為零，長板速度為v₃，由動量守恒和機械能守恒有
mv₁=Mv₃    ⑦

1

2

mv02=

1

2

Mv32  ⑧
代入③解⑦⑧式得
v0=

T

(m-M)k

（m＞M）
答：（1）當v0≥

T

mk

時細繩會被拉斷；
（2）細繩被拉斷后，長板所能獲得的最大加速度為

1

M

m m+M (kMv02+T2)

；
（3）滑塊最后離開長板時，相對地面速度恰為零的條件是v0=

T

(m-M)k

（m＞M）．

點評：本題關鍵要分析清楚滑塊和滑板的運動規律，能結合機械能守恒定律和動量守恒定律多次列式后聯立分析，較難．