Question

【題目】如圖所示，金屬導軌MNC和PQD，MN與PQ平行且間距為L，所在平面與水平面夾角為α，N、Q連線與MN垂直，M、P間接有阻值為R的電阻；光滑直導軌NC和QD在同一水平面內，與NQ的夾角都為銳角θ．均勻金屬棒ab和ef質量均為m，長均為L，ab棒初始位置在水平導軌上與NQ重合；ef棒垂直放在傾斜導軌上，與導軌間的動摩擦因數為μ（μ較小）．由導軌上的小立柱1和2阻擋而靜止．空間有方向豎直的勻強磁場（圖中未畫出）．兩金屬棒與導軌保持良好接觸，不計所有導軌和ab棒的電阻，ef棒的阻值為R，最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，忽略感應電流產生的磁場，重力加速度為g．

（1）若磁感應強度大小為B，給ab棒一個垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平導軌上沿運動方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，求此過程ef棒上產生的熱量；

（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，求通過ab棒某橫截面的電量；

（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平導軌上向右勻速運動，并在NQ位置時取走小立柱1和2，且運動過程中ef棒始終靜止．求此狀態下最強磁場的磁感應強度及此磁場下ab棒運動的最大距離．（提示：）

Answer 1

【答案】（1）ef棒上產生的熱量為；

（2）通過ab棒某橫截面的電量為．

（3）此狀態下最強磁場的磁感應強度是，磁場下ab棒運動的最大距離是．

【解析】解：（1）設ab棒的初動能為Ek，ef棒和電阻R在此過程產生熱量分別為Q和Q1，有

Q+Q1=Ek①

且Q=Q1 ②

由題意 Ek=③

得 Q=④

（2）設在題設的過程中，ab棒滑行的時間為△t，掃過的導軌間的面積為△S，通過△S的磁通量為△Φ，ab棒產生的電動勢為E，ab棒中的電流為I，通過ab棒某截面的電荷量為q，則

E=⑤

且△Φ=B△S ⑥

電流 I=⑦

又有 I=⑧

由圖所示，△S=d（L﹣dcotθ） ⑨

聯立⑤～⑨，解得：q=（10）

（3）ab棒滑行距離為x時，ab棒在導軌間的棒長Lx為：

Lx=L﹣2xcotθ （11）

此時，ab棒產生的電動勢Ex為：E=Bv2Lx （12）

流過ef棒的電流Ix為 Ix=（13）

ef棒所受安培力Fx為 Fx=BIxL （14）

聯立（11）～（14），解得：Fx=（15）

有（15）式可得，Fx在x=0和B為最大值Bm時有最大值F1．

由題意知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F1為最大值的受力分析如圖所示，

圖中fm為最大靜摩擦力，有：

F1cosα=mgsinα+μ（mgcosα+F1sinα） （16）

聯立（15）（16），得：Bm=（17）

Bm就是題目所求最強磁場的磁感應強度大小，該磁場方向可豎直向上，也可豎直向下．

有（15）式可知，B為Bm時，Fx隨增大而減小，x為最大xm時，Fx為最小值，如圖可知 F2cosα++μ（mgcosα+F2sinα）=mgsinα （18）

聯立（15）（17）（18），得

xm=

答：（1）ef棒上產生的熱量為；

（2）通過ab棒某橫截面的電量為．

（3）此狀態下最強磁場的磁感應強度是，磁場下ab棒運動的最大距離是．