Question

在某次興趣活動中，設計了如圖所示的軌道，AB是光滑的傾斜軌道，底端有一小段將其轉接為水平的弧形軌道，BC是一個光滑的水平凹槽，凹槽內放置一個質量為m₂=0.5kg的小車，小車上表面與凹槽的兩端點BC等高，CDE是光滑的半徑為R=6.4cm的豎直半圓形軌道，R是圓軌道的最高點．將一個質量為m₁=0.5kg的小滑塊，從AB軌道上離B點高h=0.8m處由靜止開始釋放，滑塊下滑后從B點滑上小車，在到達C點之前，滑塊與小車達到共同速度，小車與凹槽碰撞后立即停止，此后滑塊繼續運動，且恰好能經過圓軌道的最高點E，滑塊與小車之間的動摩擦因數μ=0.4，g=10m/s²．試求：
（1）小滑塊m₁經過圓軌道的最高點E時的速度；
（2）小車的長度L和小車獲得的最大動能．

Answer 1

（1）設m₁經過內軌道的最高點E時的速度為v_E，
由m₁g=m₁

v 2E

R

解得：v_E=

gR

=0.8m/s；
（2）滑塊滑到B點時的速度設為v₁，滑到小車上后與小車達到相同速度速度為v₂，小車停止后，滑塊運動到C點的速度為v₃；
滑塊從A到B的過程中：m₁gh=

1

2

m₁v₁²
滑塊在小車上發生相對運動的過程中：
m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
μm₁gL₁=

1

2

m₁v₁²-

1

2

（m₁+m₂）v₂²
小車停住后，滑塊繼續滑動到E點的過程中
-μm₁gL₂=

1

2

m₁v₃²-

1

2

m₁v₂²
-m₁g?2R=

1

2

m₁v_E²-

1

2

m₁v₃²
解得：v₂=2m/s；L₁=1.0m；L₂=0.1m
小車長度L=L₁+L₂=1.1m
小車獲得的最大動能為E_kmax=

1

2

m₂v₂²=1.0J．
答：（1）小滑塊m₂經過圓軌道的最高點E時的速度為0.8m/s；（2）小車長度為1.1m；小車獲得的最大動能為1.0J．