Question

【題目】如圖所示，餐桌中心是一個半徑為r=1.5m的圓盤，圓盤可繞中心軸轉動，近似認為圓盤與餐桌在同一水平面內且兩者之間的間隙可忽略不計。已知放置在圓盤邊緣的小物體與圓盤的動摩擦因數為，與餐桌的動摩擦因數為，餐桌離地高度為。設小物體與圓盤以及餐桌之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為。

(1)為使物體不滑到餐桌上，圓盤的角速度的最大值為多少？

(2)緩慢增大圓盤的角速度，物體從圓盤上甩出，為使物體不滑落到地面，餐桌半徑R的最小值為多大？

(3)若餐桌半徑，則在圓盤角速度緩慢增大時，物體從圓盤上被甩出后滑落到地面上的位置到從圓盤甩出點的水平距離L為多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】(1)由題意可得，當小物體在圓盤上隨圓盤一起轉動時，圓盤對小物體的靜摩擦力提供向心力，所以隨著圓盤轉速的增大，小物體受到的靜摩擦力增大。當靜摩擦力最大時，小物體即將滑落，此時圓盤的角速度達到最大：

兩式聯立可得：

(2)由題意可得，當物體滑到餐桌邊緣時速度恰好減為零，對應的餐桌半徑取最小值。設物體在餐桌上滑動的位移為s，物塊在餐桌上做勻減速運動的加速度大小為a，則：

所以：

物體在餐桌上滑動的初速度為：

由運動學公式可得：

由圖形可得餐桌半徑的最小值為：

(3)當物體滑離餐桌時，開始做平拋運動，平拋的初速度為物體在餐桌上滑動的末速度，由題意可得：

由于餐桌半徑為，所以

所以可得：

物體做平拋運動的時間為t，則：

解得：

所以物體做平拋運動的水平位移為

所以由題意可得：