Question

【題目】如圖所示，“蝸牛”狀軌道OAB豎直固定在水平地面上，與地面在B處平滑連接。其中“蝸牛”狀軌道由內壁光滑的半圓軌道OA和AB平滑連接而成，半圓軌道OA的半徑R1＝0.6 m，半圓軌道AB的半徑 R2＝1.2 m，水平地面BC長為xBC＝11 m，C處是一個開口較大的深坑，一質量m＝0.1 kg的小球從O點沿切線方向以某一初速度進入軌道OA后，沿OAB軌道運動至水平地面，已知小球與水平地面間的動摩擦因數μ＝0.4，g取10 m/s2。

(1)為使小球不脫離OAB軌道，小球在O點的初速度至少為多大？

(2)若小球在O點的初速度v＝6 m/s，求小球在B點對半圓軌道的壓力大小；

(3)若使小球能落入深坑C，則小球在O點的初速度至少為多大？

Answer 1

【答案】(1)6 m/s　(2)6 N　(3)8 m/s

【解析】

（1）小球通過最高點A的臨界條件是

解得小球過A點的最小速度

vA＝2 m/s

設O點為零勢能點，小球由O到A過程由機械能守恒定律得

解得

v0＝6 m/s。

（2）設B點為零勢能點，小球由O到B過程機械能守恒，則

解得

vB＝2 m/s

在B點由牛頓第二定律得

FN－mg＝m

解得

FN＝6 N

由牛頓第三定律得軌道受到的壓力

FN′＝FN＝6 N。

（3）設小球恰能落入深坑C，即vC＝0時初速度最小，小球由O到C過程由動能定理得

mgR2－μmgxBC＝0－mv′2

解得

v′＝8 m/s>v0＝6 m/s

則假設成立，小球在O點的速度至少為8 m/s。