Question

【題目】如圖，以豎直向上為y軸正方向建立直角坐標系；該真空中存在方向沿x軸正向、場強為E的勻強電場和方向垂直xoy平面向外、磁感應強度為B的勻強磁場；原點O處的離子源連續不斷地發射速度大小和方向一定、質量為m、電荷量為-q（q＞0）的粒子束，粒子恰能在xoy平面內做直線運動，重力加速度為g，不計粒子間的相互作用；

(1)求粒子運動到距x軸為h所用的時間；

(2)若在粒子束運動過程中，突然將電場變為豎直向下、場強大小變為，求從O點射出的所有粒子第一次打在x軸上的坐標范圍（不考慮電場變化產生的影響）；

(3)若保持E、B初始狀態不變，僅將粒子束的初速度變為原來的2倍，求運動過程中，粒子速度大小等于原來初速度的點所在直線方程。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）粒子恰能在xoy平面內做直線運動，則粒子在垂直速度方向上所受合外力一定為零，又有電場力和重力為恒力，其在垂直速度方向上的分量不變，而要保證該方向上合外力為零，則洛倫茲力大小不變，因為洛倫茲力，所以受到大小不變，即粒子做勻速直線運動，重力、電場力和磁場力三個力的合力為零，

設重力與電場力合力與-y軸夾角為θ，粒子受力如圖所示， ，

則v在y方向上分量大小

因為粒子做勻速直線運動，根據運動的分解可得，粒子運動到距x軸為h處所用的時間；

（2）若在粒子束運動過程中，突然將電場變為豎直向下，電場強度大小變為，則電場力，電場力方向豎直向上；

所以粒子所受合外力就是洛倫茲力，則有，洛倫茲力充當向心力，即，

如圖所示，由幾何關系可知，當粒子在O點就改變電場時，第一次打在x軸上的橫坐標最小，

當改變電場時粒子所在處于粒子第一次打在x軸上的位置之間的距離為2R時，第一次打在x軸上的橫坐標最大，

所以從O點射出的所有粒子第一次打在x軸上的坐標范圍為，即

（3）粒子束的初速度變為原來的2倍，則粒子不能做勻速直線運動，粒子必發生偏轉，而洛倫茲力不做功，電場力和重力對粒子所做的總功必不為零；

那么設離子運動到位置坐標（x，y）滿足速率，則根據動能定理有

， ，

所以