Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道固定在水平面上．一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初動(dòng)能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點(diǎn)．已知水平軌道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)．求：
（1）小物塊與水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開(kāi)軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？
（3）若圓弧軌道的半徑R取第（2）問(wèn)計(jì)算出的最小值，增大小物塊的初動(dòng)能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到最大高度是1.5R處，試求物塊的初動(dòng)能并分析物塊能否停在水平軌道上．如果能，將停在何處？如果不能，將以多大速度離開(kāi)水平軌道．

Answer 1

分析：（1）在小物塊運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，重力做功為0，摩擦力做負(fù)功-1.5μmgL，根據(jù)動(dòng)能定理求解μ．
（2）小物塊恰好不從軌道的D端離開(kāi)軌道時(shí)，到達(dá)D點(diǎn)速度為零，由動(dòng)能定理求出R．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求解出小物塊恰好沖上最大高度1.5R時(shí)的初動(dòng)能E′，物塊滑回C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_C=1.5mgR，分析E_C與滑塊從B到A克服摩擦力做功的大小關(guān)系，即可判斷物塊能否停在水平軌道上．并能根據(jù)動(dòng)能定理求解滑塊停止在軌道何處．

解答：解：（1）小物塊最終停在AB的中點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：-μmg（L+0.5L）=-E      
得：μ=

2E

3mgL

（2）若小物塊剛好到達(dá)D處，速度為零，同理，有：-μmgL-mgR=-E
解得CD圓弧半徑至少為：R=

E

3mg

 
（3）設(shè)物塊以初動(dòng)能E′沖上軌道，可以達(dá)到的最大高度是1.5R，由動(dòng)能定理得：
-μmgL-1.5mgR=-E′
解得：E′=

7E

6

物塊滑回C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E_C=1.5mgR=

E

2

，由于E_C＜μmgL=

2E

3

，故物塊將停在軌道上．
設(shè)到A點(diǎn)的距離為x，有-μmg（L-x）=-E_C
解得：x=

1

4

L 
即物塊最終停在水平滑道AB上，距A點(diǎn)

1

4

L處．
答：（1）小物塊與水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為

2E

3mgL

．
（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開(kāi)軌道，圓弧軌道的半徑R至少是

E

3mg

．
（3）物塊最終停在水平滑道AB上，距A點(diǎn)

1

4

L處．

點(diǎn)評(píng)：本題是簡(jiǎn)單的多過(guò)程問(wèn)題，要靈活選擇研究的過(guò)程．要抓住滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)的特點(diǎn)．