Question

【題目】如圖所示，豎直平面內的直角坐標系xOy中有一根表面粗糙的粗細均勻的細桿OMN，它的上端固定在坐標原點O處且與x軸相切．OM和MN段分別為彎曲桿和直桿，它們相切于M點，OM段所對應的曲線方程為.一根套在直桿MN上的輕彈簧下端固定在N點，其原長比桿MN的長度短．可視為質點的開孔小球(孔的直徑略大于桿的直徑)套在細桿上．現將小球從O處以v0＝3m/s的初速度沿x軸的正方向拋出，過M點后沿桿MN運動壓縮彈簧，再經彈簧反彈后恰好到達M點．已知小球的質量0.1kg，M點的縱坐標為0.8m，小球與桿間的動摩擦因數μ＝，g取10m/s2.求：

(1) 上述整個過程中摩擦力對小球所做的功Wf；

(2) 小球初次運動至M點時的速度vM的大小和方向；

(3) 輕質彈簧被壓縮至最短時的彈性勢能Epm.

Answer 1

【答案】（1）Wf＝－1.25J；（2）vM＝5 m/s，vM的方向與x軸正方向成夾角θ＝53°；（3）Epm＝5.625J

【解析】

(1) 對題述過程由動能定理得：WG＋Wf＝0－，代入數據解得Wf＝－1.25J．

(2) 假設小球拋出后做平拋運動，根據平拋運動規律可得x＝v0t，y＝，代入數據解得：y＝x2，與OM曲線方程一致，說明小球在OM段運動過程中與細桿OM無摩擦，做平拋運動：由動能定理WG＝－，代入數據解得vM＝5 m/s，由運動的合成和分解可得vM的方向與x軸正方向夾角的余弦值：cos θ＝＝，即θ＝53°.

(3)小球從M點開始直至小球被彈回M點的過程中，摩擦力所做的功Wf1，－2Wf1＝0－，求得Wf＝－1.25 J，又由Wf＝－μmgxmcos θ得，小球下滑的最大距離xm＝6.25 m

在小球從M點開始直至將彈簧壓縮到最短過程中，由動能定理得：mgxmsin θ＋Wf1＋W彈＝0－，又根據功能關系得Epm＝－W彈，代入數據解得Epm＝5.625 J．