Question

某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s。比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點．整個過程中球一直保持在球拍中心不動．比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示，設球在運動中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g.

(1)求空氣阻力大小與球速大小的比值k；
(2)求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；
(3)整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件．

Answer 1

(1) (2)（3）  

試題分析： (1).在勻速運動階段，有得
(2).加速階段，設球拍對球的支持力為，有
 ，得
(3).以速度v₀勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，有球拍傾角為θ₀＋β時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有Fsinβ＝ma′
設勻速跑階段所用時間為t，有t＝－
球不從球拍上掉落的條件a′t²≤r         
得