Question

【題目】年月，天文學(xué)家們通過(guò)觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座”的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系．研究發(fā)現(xiàn)，有一星體繞人馬座做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．觀測(cè)得到星的運(yùn)行周期為年．

（）若將星的運(yùn)行軌道視為半徑天文單位的圓軌道，試估算人馬座的質(zhì)量是太陽(yáng)質(zhì)量的多少倍（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；

（）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛．由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為的粒子具有的勢(shì)能為（設(shè)粒子在離黑洞無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零），式中、分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑．已知引力常量，光速，太陽(yáng)質(zhì)量，太陽(yáng)半徑，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問(wèn)結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座的半徑與太陽(yáng)半徑之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：研究星繞人馬座A*做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出人馬座A*的質(zhì)量．研究地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出太陽(yáng)的質(zhì)量．根據(jù)題目提供的信息，篩選出有用的信息，結(jié)合功能關(guān)系，求出問(wèn)題．

（1）設(shè)星的質(zhì)量為，角速度為，周期為，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：

，又

設(shè)地球質(zhì)量為，公轉(zhuǎn)軌道半徑為，周期為，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：

，又

聯(lián)立得： ，其中年， 天文單位

代入數(shù)據(jù)可得

（2）引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無(wú)限遠(yuǎn)，此時(shí)粒子的勢(shì)能為零．粒子在到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零，則有：

由題意可知，

可得：

代入數(shù)據(jù)得：

所以：