Question

【題目】如圖,一輕彈簧原長為2R,其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處,另一端位于直軌道上B處,彈簧處于自然狀態,直軌道與一半徑為的光滑圓弧軌道相切于C點,AC=7R,A、B、C、D均在同一豎直平面內。質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑,最低到達E點(未畫出)。隨后P沿軌道被彈回,最高到達F點,AF=4R。已知P與直軌道間的動摩擦因數,重力加速度大小為g。(取)

(1)求P第一次運動到B點時速度的大小。

(2)求P運動到E點時彈簧的彈性勢能。

(3)改變物塊P的質量,將P推至E點,從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后,恰好通過G點。G點在C點左下方,與C點水平相距、豎直相距R,求P運動到D點時速度的大小和改變后P的質量。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)對物體從C到B的過程分析，由動能定理列式可求得物體到達B點的速度；

(2)同(1)的方法求出物塊返回B點的速度，然后對壓縮的過程與彈簧伸長的過程應用功能關系即可求出；

(3)P離開D點后做平拋運動，將物塊的運動分解即可求出物塊在D點的速度，E到D的過程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關系即可求出物塊P的質量。

(1) C到B的過程中重力和斜面的阻力做功，所以：

其中：

代入數據解得：

(2) 物塊返回B點后向上運動的過程中：

其中

聯立解得：

物塊P向下到達最低點又返回的過程中只有摩擦力做功，設最大壓縮量為x，則：

整理得：x=R

物塊向下壓縮彈簧的過程設克服彈力做功為W，則：

mgxsin37°μmgcos37°xW＝0

又由于彈簧增加的彈性勢能等于物塊克服彈力做的功，即：EP=W

所以：EP=2.4mgR；

(3) 由幾何關系可知圖中D點相對于C點的高度：

h=r+rcos37°=1.8r=1.8×

所以D點相對于G點的高度：H=1.5R+R=2.5R

小球做平拋運動的時間：

G點到D點的水平距離：L=

由：L=vDt

聯立解得：

E到D的過程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關系得：

聯立解得：。