Question

如圖是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”示意圖，電動機帶動兩個滾輪勻速轉動將夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放，夯桿在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底。然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿被提上來，如此周而復始（夯桿被滾輪提升過程中，分別經歷勻加速和勻速運動過程）。已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v＝4m／s，滾輪對夯桿的正壓力F_N＝2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ＝0.3，夯桿質量m＝1×10³kg，坑深h＝6.4m，假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，g取10m／s²。求：
（1）夯桿被滾輪帶動勻加速上升過程所需的時間；
（2）每個打夯周期中，電動機需消耗的能量。

Answer 1

（1）2s （2）1.2×10⁵J

（1）夯桿加速上升階段：
加速度   ①---------4分
a = 2 m / s² ②---------------2分
則夯桿勻加速上升的時間 ③-------2分
（2）夯桿加速上升的高度     ④-------2分
在加速上升階段，電動機對夯桿做的功  W₁=2μF_N h₁= 4.8×10⁴ J ⑤-------2分
夯桿勻速上升階段上升高度  h₂= h－h₁= 2.4 m 
電動機對夯桿做的功  W₂= mgh₂= 2.4×10⁴J  ⑥-------2分
夯桿加速上升階段，電動機滾輪與夯桿間摩擦生熱Q=2μF_N h₁= 4.8×10⁴ J-⑦------2分
每個打夯周期中，電動機需消耗的能量E = W₁+ W₂+Q= 1.2×10⁵J ⑧-------2分
〔或每個打夯周期中，電動機需消耗的能量E ==2μF_NVt₁+mg Vt₂=1.2×10⁵J 〕