Question

半徑R=0.50m的光滑圓環固定在豎直平面內，輕質彈簧的一端固定在環的最高點A處，另一端系一個質量m=0.20kg的小球，小球套在圓環上，已知彈簧的原長為L₀=0.50m，勁度系數k=5N/m，將小球從如圖所示的位置由靜止開始釋放，小球將沿圓環滑動并通過最低點C，在C點時速度v_C=3m/s，g取10m/s²．求：
（1）小球經過C點時的彈簧的彈性勢能的大小；
（2）小球經過C點時對環的作用力的大小和方向．

Answer 1

（1）設小球經過C點的速度為v_c，小球從B到C，據機械能守恒定律得：
mg（R+Rcos60°）=E_PC+

1

2

m

v

2C

，
代入數據求出：E_PC=mg（R+Rcos60°）-

1

2

m

v

2C

=0.2×10×（0.5+0.5×0.5）-

1

2

×0.2×3²=0.6J
（2）小球經過C點時受到三個力作用，即重力G、彈簧彈力F、環的作用力F_N．設環對小球的作用力方向向上，根據牛頓第二定律得：
F+F_N-mg=m

v 2C

R

由于F=kx=k（2R-L₀）=5×（2×0.5-0.5）=2.5N，
則得：F_N=m（

v 2C

R

+g）-F=0.2×（

32

0.5

+10）-2.5=3.1N，方向豎直向上．
根據牛頓第三定律得出小球對環的作用力大小為3.1N．方向豎直向下．
答：（1）小球經過C點時的彈簧的彈性勢能的大小是0.6J；
（2）小球經過C點時對環的作用力的大小為3.1 N，方向豎直向下．