Question

【題目】如果場源是多個點電荷，電場中某點的電場強度為各個點電荷單獨在該點產生的電場強度的矢量和，電場中某點的電勢為各個點電荷單獨在該點產生電勢的代數和。若規定無限遠處的電勢為零，真空中點電荷周圍某點的電勢φ可表示為，其中k為靜電力常量，Q為點電荷的電荷量，r為該點到點電荷的距離。如圖所示，一個半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電細圓環固定在真空中，環面水平。一質量為m、電荷量- q的帶電液滴，從環心O正上方D點由靜止開始下落。已知D、O間的距離為，靜電力常量為k，重力加速度為g。求

(1)D點的電場強度E

(2)液滴到達O點時速度v的大小。

Answer 1

【答案】(1) 方向豎直向上；(2)

【解析】

利用微元法求出每個微元在D點的電場和豎直方向的電場，根據疊加原理求出D點的電場強度；結合點電荷的電勢的公式，求出D、O點的電勢，然后由功能關系即可求出液滴到達O點時速度v的大小。

解（1）D到環上的各點的距離為L，則由幾何關系可知：

將均勻的帶電圓環分成長度為的微元，每個微元帶電量為

每個微元在D點的電場為

豎直方向的電場

根據疊加原理可知整個均勻帶電圓環在在D點的水平方向的電場抵消為0

整個均勻帶電圓環在在D點的豎直方向的電場

D點的電場強度，方向豎直向上

（2） 由于環上的各點到D的距離都是L，則環上的電荷在D處產生的電勢為：

則環上的電荷在O處產生的電勢為：

負電荷從D到O的過程中重力做正功，電場力也做正功，所以到達O點時：

所以：