Question

【題目】通過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離．一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統來處理．

現根據對某一雙星系統的光度學測量確定：該雙星系統中每個星體的質量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．

（1）試計算該雙星系統的運動周期T計算；

（2）若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測∶T計算=1∶ (N＞1)．為了解釋T觀測與T計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，請根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，根據萬有引力公式：

解之得：

（2）根據觀測結果，星體的運動周期為，這是由于雙星系統內（類似一個球體）均勻分布的暗物質引起的，均勻分布雙星系統內的暗物質對雙星系統的作用，與一個質點（質點的質量等于球內暗物質的總質量且位于中點O處）的作用相同，考慮暗物質作用后雙星系統的運動周期，即：

代入并整理得：

故所求的暗物質密度為：