Question

【題目】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的，由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對他們的引力作用．現已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運行．設每個星體的質量均為m，引力常量為G．
（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度大小和周期；
（2）假設兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：第一種形式下，三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力： ，

解得： ，

故周期：T=

答：第一種形式下線速度大小為 ，周期為

（2）解：另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：

，

聯立解得： ．

答：第二種形式下星體之間的距離應為

【解析】（1）運行的任一衛星受到中心星體和另一個轉動的星體的萬有引力作用，合力充當向心力，列式求解即可；（2）對其中一個星體受力分析，根據平行四邊形定則求出合力，有合力充當向心力列式即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解萬有引力定律及其應用的相關知識，掌握應用萬有引力定律分析天體的運動：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算.②天體質量M、密度ρ的估算．