Question

【題目】如圖所示，豎直平面內的光滑四分之一圓弧軌道與水平傳送帶相切于B點，圓弧軌道的半徑為R，傳送帶的長為2R，傳送帶上表面離地高也為R，傳送帶正以速度v=沿逆時針方向轉動，一質量為m的物塊在圓弧軌道的上端A上方某高度處由靜止下落，剛好能從A點進入圓弧軌道，若物塊與傳送帶間的動摩擦因數為=0.5，重力加速度為g，空氣阻力不計，求：

(1)要使物塊不能從傳送帶的右端滑離，物塊從A點上方釋放的高度應滿足什么條件?

(2)若物塊滑離傳送帶后落在地面上的位置離傳送帶右端C的水平距離為R，則物塊在B點時對圓弧軌道的壓力多大？

(3)若物塊滑上傳送帶后剛好不能從傳送帶右端滑離則此種情況下，物塊在傳送帶上運動的全過程中，傳送帶電動機因為物塊在傳送帶上滑動額外做的功為多少?

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） （3）

【解析】

（1）設當物塊剛好不能從傳送帶的右端滑離時，物塊從A點上方釋放的高度為h，根據動能定理，則有：mg（h+R）-μmg2R=0；
解得：h=0
即要使物塊不滑離傳送帶，物塊不能從A點上方任一位置釋放，只能從圓弧面上釋放；
（2）設物塊在C點的速度為vC，則R=vCt；
且R=gt2
設物塊在B點的速度為vB，物塊從B到C的過程中，根據動能定理，

μmg2R＝mvB2mvC2
解得：；
在B點，設圓弧軌道對物塊的支持力為F，根據牛頓第二定律，則有：F-mg=m；
解得：F=mg
根據牛頓第三定律，物塊在B點時對圓弧軌道的壓力為F′=F=mg
（3）如果物塊剛好能滑到傳送帶的右端，則物塊到達C端時，速度為零，物塊在B點速度為vB，則mvB2＝2μmgR，

解得：vB=
然后在摩擦力作用下，向左勻加速直線運動，速度達到v=與傳送帶一起勻速運動；因電動機額外做的功等于全過程中，皮帶克服摩擦力做的功，則有：

W=μmgvt=；