Question

物塊A與豎直輕彈簧相連，放在水平地面上，一個物塊B由距彈簧上端O點H高處自由落下，落到彈簧上端后將彈簧壓縮．為了研究物塊B下落的速度隨時間變化的規律和物塊A對地面的壓力隨時間變化的規律，某位同學在物塊A的正下方放置一個壓力傳感器，測量物塊A對地面的壓力，在物塊B的正上方放置一個速度傳感器，測量物塊B下落的速度．在實驗中測得：物塊A對地面的最小壓力為P₁，當物塊B有最大速度時，物塊A對地面的壓力為P₂．已知彈簧的勁度系數為k，物塊B的最大速度為v，重力加速度為g，不計彈簧的質量．
（1）物塊A的質量．
（2）物塊B在壓縮彈簧開始直到B達到最大速度的過程中，它對彈簧做的功．
（3）若用T表示物塊B的速度由v減到零所用的時間，用P₃表示物塊A對地面的最大壓力，試推測：物塊的速度由v減到零的過程中，物塊A對地面的壓力P隨時間t變化的規律可能是下列函數中的______（要求說明推測的依據）
A．P=P₂+（P₃-P₂）

t

T

B．P=P₁+（P₃-P₁）

t

T

C．P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

D．P=P₁+（P₃-P₁）

πt

2T

．

Answer 1

（1）物塊B沒有落到彈簧上時，物塊A對地面的壓力為最小壓力，設此時物塊A受重力為m_Ag，物塊受m_Ag和地面的支持力處于平衡，故：P₁=m_Ag
所以物塊A的質量：m_A=

p1

g

①
（2）物塊B落到彈簧上，將彈簧壓縮，當物塊B的重力等于彈簧的彈力，物塊B有最大速度．設物塊B的質量為m_Bg，有最大速度時彈簧壓縮量為x₁，則：
kx₁=m_Bg②即彈簧產生的彈力為m_Bg
此時，由物塊A受彈簧的壓力、重力和地面的支持力處于平衡，則有：P₂=m_Ag+m_Bg③
物塊B由靜止開始落下，到達最大速度的過程中，重力做功m_Bg（H+x₁），設克服彈簧的彈力做功W，根據動能定理，有：

1

2

mv²=m_Bg（H+x₁）-W④
將①②③式代人④式，得物塊B對彈簧做功W=（P₂-P₁）（H-

p2-p1

k

）-

(p2-p1)mv2

2g

（3）應為C
物塊B與彈簧接觸后，在重力和彈力作用下，在豎直方向上做簡諧運動，周期為4T．物塊A對地面的壓力大小P等于A的重力與彈簧的彈力之和．則P隨時間變化的關系只可是正弦函數，AB選項都不正確．當t=0時，壓P=P₂；當t=T時，壓力最大為P₃．只有選項C正確．
另物塊B與彈簧接觸后，在重力和彈力作用下，在豎直方向上做簡諧運動．其平衡位置在物塊B具有最大速度處，設平衡位置為0′，建立O′x坐標系，以豎直向下為正方向，有
m_Bg-F_彈=-kx⑤
物塊B做簡諧運動的周期為4T，在速度由最大變到零的四分之一周期內，設最大位移為x_m，振動位移為
x=x_msin（

πt

2T

）⑥F_彈=m_Bg+kx_msin（

πt

2T

）
物塊A對地面的壓力為P=m_Ag+m_Bg+kx_msin（

πt

2T

）
代人③式得P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

⑦
當t=T時，壓力最大為P₃，即P₃=P₂+kx_msin（

πt

2T

）得：kx_mn=P₃-P₂
壓力P隨時間t變化的規律為P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

答：（1）A的質量為

p1

g

（2）B在壓縮彈簧開始直到B達到最大速度的過程中，它對彈簧做的功為（P₂-P₁）（H-

p2-p1

k

）-

(p2-p1)mv2

2g

（3）選C