Question

【題目】圖（a）所示的xoy平面處于勻強磁場中，磁場方向與xoy平面（紙面）垂直，磁感應強度B隨時間t變化的周期為T，變化圖線如圖（b）所示．當B為+B0時，磁感應強度方向指向紙外．在坐標原點O有一帶正電的粒子P，其電荷量與質量恰好等于 ．不計重力．設P在某時刻t0以某一初速度沿y軸正向O點開始運動，將它經過時間T到達的點記為A．

（1）若t0=0，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（2）若t0=T/4，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（3）為了使直線OA與x軸的夾角為π/4，在0＜t0＜π/4的范圍內，t0應取何值？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設粒子P的質量、電荷量與初速度分別為m、q與v，粒子P在洛侖茲力作用下，在xy平面內做圓周運動，分別用R與T′表示圓周的半徑和運動周期，則有：

由①②式與已知條件得

T′=T

粒子P在t=0到t= 時間內，沿順時針方向運動半個圓周，到達x軸上B點，此時磁場方向反轉；繼而，在t= 到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達x軸上A，如圖（a）所示．

OA與x軸的夾角θ=0 ④

（2）

解：粒子P在 時刻開始運動，在 到t= 時間內，沿順時針方向運動 個圓周，到達D點，此時磁場方向反轉；繼而，在t= 到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t= 時間內，沿順時針方向運動 個圓周，到達A點，如圖（b）所示，

由幾何關系可知，A點在y軸上，即OA與x軸的夾角 ⑤

（3）

解：若在任意時刻t=t0（ ）粒子P開始運動，在t=t0到t= 時間內，沿順時針方向做圓周運動到達C點，圓心O′位于x軸上，圓弧OC對應的圓心角為

⑥

此時磁場方向反轉；繼而，在t= 到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=T+t0時間內，沿順時針方向做圓周運動到達A點，設圓O″，圓弧BA對應的圓心角為 ⑦

如圖（c）所示，

由幾何關系可知，C、B均在O′O″連線上，且OA∥O′O″⑧

若要OA與x軸成 角，則有 ⑨，聯立⑥⑨式可得

⑩

【解析】（1）粒子在里面做圓周運動，由此可以得到粒子在一個周期內的運動軌跡，進而可知夾角（2）粒子P在 時刻開始運動，在 到 時間內，沿順時針方向運動 個圓周，到達D點，此時磁場方向反轉；繼而，在t= 到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t= 時間內，沿順時針方向運動 個圓周，到達A點，畫出圖，可得夾角（3）若在任意時刻t=t0（ ）粒子P開始運動，在t=t0到t= 時間內，沿順時針方向做圓周運動到達C點，圓心O′位于x軸上，圓弧OC對應的圓心角為 此時磁場方向反轉；繼而，在t= 到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=T+t0時間內，沿順時針方向做圓周運動到達A點，設圓O″，圓弧BA對應的圓心角為 ，畫出圖象，可得角度，進而得到時間．
【考點精析】利用向心力對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力．