Question

【題目】如圖甲所示，在直角坐標系中的0≤x≤L區域內有沿y軸正方向的勻強電場，右側有以點（2L，0）為圓心、半徑為L的圓形區域，與x軸的交點分別為M、N，在xOy平面內，從電離室產生的質量為m、帶電荷量為e的電子以幾乎為零的初速度從P點飄入電勢差為U的加速電場中，加速后經過右側極板上的小孔Q點沿x軸正方向進入勻強電場，已知O、Q兩點之間的距離為，飛出電場后從M點進入圓形區域，不考慮電子所受的重力。

（1）求0≤x≤L區域內電場強度E的大小和電子從M點進入圓形區域時的速度vM；

（2）若圓形區域內加一個垂直于紙面向外的勻強磁場，使電子穿出圓形區域時速度方向垂直于x軸，求所加磁場磁感應強度B的大小和電子在圓形區域內運動的時間t；

（3）若在電子從M點進入磁場區域時，取t＝0，在圓形區域內加如圖乙所示變化的磁場（以垂直于紙面向外為正方向），最后電子從N點飛出，速度方向與進入圓形磁場時方向相同，請寫出磁場變化周期T滿足的關系表達式。

Answer 1

【答案】（1），，設vM的方向與x軸的夾角為θ，θ＝45°；（2），；（3）T的表達式為（n＝1，2，3，…）

【解析】

（1）在加速電場中，從P點到Q點由動能定理得：

可得

電子從Q點到M點，做類平拋運動，

x軸方向做勻速直線運動，

y軸方向做勻加速直線運動，

由以上各式可得：

電子運動至M點時：

即：

設vM的方向與x軸的夾角為θ，

解得：θ＝45°。

（2）如圖甲所示，電子從M點到A點，做勻速圓周運動，因O2M＝O2A，O1M＝O1A，且O2A∥MO1，所以四邊形MO1AO2為菱形，即R＝L

由洛倫茲力提供向心力可得：

即

。

（3）電子在磁場中運動最簡單的情景如圖乙所示，在磁場變化的半個周期內，粒子的偏轉角為90°，根據幾何知識，在磁場變化的半個周期內，電子在x軸方向上的位移恰好等于軌道半徑，即

因電子在磁場中的運動具有周期性，如圖丙所示，電子到達N點且速度符合要求的空間條件為：（n＝1，2，3，…）

電子在磁場中做圓周運動的軌道半徑

解得：（n＝1，2，3，…）

電子在磁場變化的半個周期內恰好轉過圓周，同時在MN間的運動時間是磁場變化周期的整數倍時，可使粒子到達N點且速度滿足題設要求，應滿足的時間條件是

又

則T的表達式為（n＝1，2，3，…）。