Question

【題目】如圖所示，一質量Ｍ＝2ｋｇ的長木板Ｂ靜止于光滑水平面上，Ｂ的右邊放有豎直擋板．現有一小物體Ａ（可視為質點）質量ｍ＝1ｋｇ，以速度ｖ０＝6ｍ／ｓ從Ｂ的左端水平滑上Ｂ，已知Ａ和Ｂ間的動摩擦因數μ＝0．2，Ｂ與豎直擋板的碰撞時間極短，且碰撞時無機械能損失．

（1）若Ｂ的右端距擋板ｓ＝4ｍ，要使Ａ最終不脫離Ｂ，則木板Ｂ的長度至少多長?
（2）若Ｂ的右端距擋板ｓ＝0．5ｍ，要使Ａ最終不脫離Ｂ，則木板Ｂ的長度至少多長?

Answer 1

【答案】（1）8．67ｍ（2）8．96ｍ．

【解析】（1）設Ａ滑上Ｂ后達到共同速度前并未碰到檔板，則根據動量守恒定律得它們的共同速度為ｖ，有ｍｖ０＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，

解得ｖ＝2ｍ／ｓ，

在這一過程中，Ｂ的位移為ｓＢ＝ｖＢ2／2ａＢ且ａＢ＝μｍｇ／Ｍ，

解得ｓＢ＝Ｍｖ2／2μｍｇ＝2×22／2×0．2×1×10＝2ｍ．

設這一過程中，Ａ、Ｂ的相對位移為ｓ１，根據系統的動能定理，得

μｍｇｓ１＝ｍｖ０2－（Ｍ＋ｍ）ｖ2，

解得ｓ１＝6ｍ．

當ｓ＝4ｍ時，Ａ、Ｂ達到共同速度ｖ＝2ｍ／ｓ

后再勻速向前運動2ｍ碰到擋板，Ｂ碰到豎直擋板后，根據動量守恒定律得Ａ、Ｂ最后相對靜止時的速度為ｖ′，則Ｍｖ－ｍｖ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ′，

解得ｖ′＝ｍ／ｓ．

在這一過程中，Ａ、Ｂ的相對位移為ｓ２，根據系統的動能定理，得

μｍｇｓ２＝（Ｍ＋ｍ）ｖ2－（Ｍ＋ｍ）ｖ′2，

解得ｓ２＝2．67ｍ．

因此，Ａ、Ｂ最終不脫離的木板最小長度為ｓ１＋ｓ２＝8．67ｍ

（2）因Ｂ離豎直檔板的距離ｓ＝0．5ｍ＜2ｍ，所以碰到檔板時，Ａ、Ｂ未達到相對靜止，此時Ｂ的速度ｖＢ為

ｖＢ2＝2ａＢｓ＝2ｓ，

解得ｖＢ＝1ｍ／ｓ，

設此時Ａ的速度為ｖＡ，根據動量守恒定律，得ｍｖ０＝ＭｖＢ＋ｍｖＡ，

解得ｖＡ＝4ｍ／ｓ，

設在這一過程中，Ａ、Ｂ發生的相對位移為ｓ１′，根據動能定理得：

μｍｇｓ１′＝ｍｖ０2－（ｍｖＡ2＋ＭｖＢ2），

解得ｓ１′＝4.5ｍ．

Ｂ碰撞擋板后，Ａ、Ｂ最終達到向右的相同速度ｖ，根據動量守恒得ｍｖＡ－ＭｖＢ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，

解得ｖ＝ｍ／ｓ．

在這一過程中，Ａ、Ｂ發生的相對位移ｓ２′為

μｍｇｓ２′＝ｍｖＡ2＋（Ｍ＋ｍ）ｖ2，

解得ｓ２′＝ｍ．

Ｂ再次碰到擋板后，Ａ、Ｂ最終以相同的速度ｖ′向左共同運動，根據動量守恒定律，得

Ｍｖ－ｍｖ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ′，

解得ｖ′＝ｍ／ｓ．

在這一過程中，Ａ、Ｂ發生的相對位移ｓ３′為：

μｍｇｓ３′＝（Ｍ＋ｍ）ｖ2－（Ｍ＋ｍ）ｖ′2，

解得ｓ３′＝ｍ．

因此，為使Ａ不從Ｂ上脫落，Ｂ的最小長度為ｓ１′＋ｓ２′＋ｓ３′＝8.96ｍ．