Question

如圖15所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，彈簧處于自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑圓弧形軌道MNP，其半徑R＝0.8 m，OM為水平半徑，ON為豎直半徑，P點到桌面的豎直距離也是R，∠PON＝45°第一次用質量m₁＝1.1 kg的物塊(可視為質點)將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊停在B點(B點為彈簧原長位置)，第二次用同種材料、質量為m₂＝0.1 kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點釋放，物塊過B點后做勻減速直線運動，其位移與時間的關系為，物塊從桌面右邊緣D點飛離桌面后，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道．(g＝10 m/s²，不計空氣阻力)
求：(1)BC間的距離；
(2)m₂由B運動到D所用時間；
(3)物塊m₂運動到M點時，m₂對軌道的壓力．

Answer 1

(1)由x＝6t－2t²知
v_B＝6 m/s　a＝－4 m/s²            (2分)
m₂在BD上運動時－m₂gμ＝m₂a
解得μ＝0.4                     (1分)
設彈簧長為AC時，彈簧的彈性勢能為E_p
m₁釋放時E_p＝μm₁gs_BC                               (1分)
m₂釋放時E_p＝μm₂gs_BC＋m₂v_B²      (1分)
解得s_BC＝0.45 m                     (1分)
(2)設m₂由D點拋出時速度為v_D，落到P點的豎直速度為v_y
在豎直方向v_y²＝2gR，解得v_y＝＝4 m/s     (1分)
在P點時tan 45°＝                            (1分)
解得v_D＝4 m/s                           (1分)
m₂由B到D所用的時間t＝＝0.5 s         (2分)
(3)m₂由P運動到M的過程，由機械能守恒定律得
m₂v_P²＋m₂g(R－Rcos 45°)＝m₂v_M²＋m₂gR    (2分)
在M點時，對m₂受力分析，由牛頓第二定律得
F_N＝m                                 (1分)
解得F_N＝(4－) N                         
由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力為(4－) N      (1分)

略