Question

（2006?深圳二模）如圖所示，一束截面為圓形（半徑R）的平行白光垂直射向一玻璃半球的平面，經折射后在屏幕S上形成一個圓形彩色亮區．已知玻璃半球的半徑為R，屏幕S至球心的距離為D（D＞4R），不考慮光的干涉和衍射，試問：
（1）在屏幕S上形成的圓形亮區的最外側是什么顏色？
（2）若玻璃半球對（1）中最外側色光的折射率為n，請你求出圓形亮區的最大半徑．

Answer 1

分析：（1）當光線從空氣垂直射入半圓玻璃磚，光線不發生改變，當入射角小于臨界角時，光線才能再從玻璃磚射出，所以平行白光中的折射率不同，導致臨界角不同，因此偏折程度不同，從而確定圓形亮區的最外側的顏色；
（2）光線沿直線從O點穿過玻璃，方向不變．從A點射出玻璃磚的光線方向向右偏折，射到屏幕S上圓形亮區，作出光路圖，由光的折射定律結合數學幾何知識求出圓形亮區的最大半徑．

解答：解：（1）紫色．當平行光從玻璃中射向空氣時，由于紫光的折射率的最大，則臨界角最小，所以首先發生全反射，因此出射光線與屏幕的交點最遠．故圓形亮區的最外側紫光．
（2）如圖，紫光剛要發生全反射時的臨界光線射在屏幕S上的點E到亮區中心G的距離r就是所求最大半徑．設紫光臨界角為C，
由全反射的知識得：sinC=

1

n

，
又：AB=RsinC=

R

n

，
OB=RcosC=R

n2-1

n

，BF=AB?tanC=

R

n n2-1

，GF=D-(OB+BF)=D-

nR

n2-1

，

GE

AB

=

GF

FB

所以有r=GE=

GF

FB

?AB=D?

n2-1

-nR．
答：（1）在屏幕S上形成的圓形亮區的最外側是紫光；
（2）若玻璃半球對（1）中最外側色光的折射率為n，圓形亮區的最大半徑為D?

n2-1

-nR．

點評：本題考查光的折射．關鍵是作出光路圖，根據幾何知識求出入射角與折射角．