Question

【題目】如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P，其質量m=2×10﹣2 kg，電荷量q=0.2C．將彈簧拉至水平后，以初速度V0=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達O點的正下方O1點時速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O1相距R=1.5m，小球P在O1點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10﹣1 kg的靜止絕緣小球N相碰．碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的勻強磁場．此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5m的圓周運動．小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10m/s2 ． 那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
（2）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度．
（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設彈簧的彈力做功為W，有： ①

代入數據，得：W=﹣2.05J②

答：彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為﹣2.05J

（2）解：由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷．設P、N碰后的速度大小分別為v1和V，

并令水平向右為正方向，有：mv=±mv1+MV③

而： ④

若P、N碰后速度同向時，計算可得V＜v1，這種碰撞不能實現．P、N碰后瞬時必為反向運動．有： ⑤

P、N速度相同時，N經過的時間為tN，P經過的時間為tP．設此時N的速度V1的方向與水平方向的夾角為θ，

有： ⑥

gtN=V1sinθ=v1sinθ⑦

代入數據，得： ⑧

對小球P，其圓周運動的周期為T，有： ⑨

經計算得：tN＜T，

P經過tP時，對應的圓心角為α，有： ⑩

當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：α1=π+θ

聯立相關方程得：

比較得，tN≠tP1，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同．

當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有：a2=π﹣θ，

同上得： ，

比較得，tN≠tp2，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同．

答：小球P、N碰撞后不能在某一時刻具有相同的速度

（3）解：當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同，tN=tP=t，

再聯立④⑦⑨⑩解得：

當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同tN=tP=t，

同理得： ，

考慮圓周運動的周期性，有： （給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．

答： （給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．

【解析】（1）對小球從水平位置到O1點的運動過程運用動能定理即可求得彈簧彈力做功；（2）速度相同，包括大小相等，方向相同．由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，在洛倫茲力作用下做圓周運動，可根據碰撞時的動量守恒，求出N的速度，假設他們的速度相同，分別計算時間，看看時間能否相等，同時要注意分情況討論，因為磁場的方向沒有說明；（3）因為磁場方向沒有說明，所以同樣要分情況討論，設經過t時間他們速度相同，應用（2）中的方程，聯立方程解出r，同時要注意圓周運動的周期性．