Question

為研究靜電除塵，有人設(shè)計(jì)了一個(gè)盒狀容器，容器側(cè)面是絕緣的透明有機(jī)玻璃，它的上、下底面都是而積為A的金屬板，間距為L(zhǎng)，金屬板連接到電壓為U的高壓電源正負(fù)極，如圖所示，現(xiàn)把定量均勻分布的煙塵顆粒密閉在容器內(nèi)，單位體積內(nèi)煙塵顆粒數(shù)為n，假設(shè)這些顆粒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，每個(gè)顆粒質(zhì)量為m，帶有電量為q的正電荷，碰到下極板時(shí)會(huì)被極板吸附，不考慮顆粒之間的相瓦作用、空氣阻力以及顆粒所受重力，求合上電鍵后：
（1）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間煙塵顆粒可以被全部吸附？
（2）將煙塵完全除掉，電場(chǎng)對(duì)煙塵共做多少功？
（3）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間容器中煙塵顆粒的總動(dòng)能達(dá)到最大？

Answer 1

分析：在本題中帶電顆粒做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)直到到達(dá)負(fù)極板為止，當(dāng)離負(fù)極板最遠(yuǎn)的粒子到達(dá)負(fù)極板時(shí)，所有顆粒全部被吸收；由于顆粒均勻分布在密閉容器內(nèi)，可以等效為所有顆粒從兩極板中間被加速到負(fù)極板，從而求出電場(chǎng)對(duì)顆粒做的總功；寫出動(dòng)能表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間顆粒的總動(dòng)能最大．

解答：解：（1）當(dāng)最靠近上板的塵粒運(yùn)動(dòng)到下板時(shí)，全部煙塵就被吸附，
設(shè)需時(shí)間t
煙塵顆粒受到的電場(chǎng)力    
F=qE=

qU

L

從盒子最上端運(yùn)動(dòng)到盒底的塵粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t
則L=

1

2

at2
t=

2mL2 qU

（2）設(shè)容器容積為V，電源接通前塵粒總數(shù)為N，
則N=nV=nLA  
電場(chǎng)對(duì)煙塵做的總功W=

1

2

NqU    
=

1

2

nALqU 
（3）設(shè)原先位于盒頂?shù)膲m粒下落距離x時(shí)，部分塵粒已被下極板吸附，容器內(nèi)未被吸附的塵粒數(shù)為
nA（L-x）                       
它們的總動(dòng)能設(shè)為E_K，
則    E_K=nA（L-x）．

1

2

mv²=

n(L-X)?qxU

L

            
式中的因式（L-x）x=-（x²-Lx+

L2

4

）+

L2

4

=

L2

4

-（x-

L

2

）²，
當(dāng)x=

L

2

時(shí)該因式有最大值
故 當(dāng)x=

L

2

時(shí)，E_K達(dá)最大                                               
設(shè)此時(shí)刻為t₁則x=

1

2

at₁²
求得t1=

mL2 qU

答：（1）經(jīng)過

2mL2 qU

時(shí)間煙塵顆粒可以被全部吸附；
（2）將煙塵完全除掉，電場(chǎng)對(duì)煙塵共做功為

1

2

nALqU；
（3）經(jīng)過時(shí)間

mL2 qU

，容器中煙塵顆粒的總動(dòng)能達(dá)到最大．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于較難題目，要正確建立物理模型，依據(jù)相關(guān)物理規(guī)律求解．