Question

【題目】某興趣小組設計了一個玩具軌道模型如圖甲所示，將一質量為m＝0.5kg的玩具小車（可以視為質點）放在P點，用彈簧裝置將其從靜止彈出（彈性勢能完全轉化為小車初始動能）使其沿著半徑為r＝1.0m的光滑圓形豎直軌道OAO′運動，玩具小車與水平面PB的阻力為其自身重力的0.5倍（g取10m/s2），PB＝16.0m，O為PB中點。B點右側是一個高h＝1.25m、寬L＝2.0m的壕溝。求；

（1）要使小車恰好能越過圓形軌道的最高點A，小車在O點受到軌道彈力的大小；

（2）要求小車能安全越過A點，并從B點平拋后越過壕溝，則彈簧的彈性勢能至少為多少？

（3）若在彈性限度內，彈簧的最大彈性勢能Epm＝40J，以O點為坐標原點，OB為x軸，從O到B方向為正方向，在圖乙坐標上畫出小車能進入圓形軌道且不脫離軌道情況下，彈簧彈性勢能Ep與小車停止位置坐標x關系圖。

Answer 1

【答案】（1）要使小車恰好能越過圓形軌道的最高點A，小車在O點受到軌道彈力的大小是30N；（2）要求小車能安全越過A點，并從B點平拋后越過壕溝，則彈簧的彈性勢能至少為44J。

（3）

【解析】

（1）小車恰好經過A點時，有：

得

對小車從O到A過程，根據動能定理，有：

解得 v0＝5m/s

小車在O點時，由牛頓第二定律得

聯立解得：FN＝6mg＝30N

（2）要求Ⅰ：越過A點，v0＝5m/s

P→O：Ep彈1﹣kmgxPO＝mv02﹣0

得 Ep彈1＝32.5J

要求Ⅱ：平拋運動后越過壕溝，有

L＝vBt

h＝gt2

可得 vB＝4m/s

由動能定理，有 Ep彈2﹣kmgxPB＝mvB2﹣0

解得 Ep彈2＝44J

綜上所述，彈簧的彈性勢能至少為44J。

（3）分類討論：因為最大彈簧勢能為40J，所以小車至多運動到B點，必不平拋。

情況1：能越過A點，彈性勢能 32.5J≤Ep彈1≤40J。

當Ep彈1﹣kmgx1＝0﹣0，得 13m≤x1≤16m。

又因為O點是坐標原點，所以實際坐標值為 5m≤x11≤8m。

情況2：恰能到達圓軌道圓心等高處，當Ep彈2﹣kmgxPO﹣mgr＝0﹣0，得 Ep彈2＝25J

mgr＝kmgx21，得 x21＝2m

又因為O點為坐標原點，所以實際坐標值為 x21＝﹣2m

恰能進入圓軌道，當Ep彈2﹣kmgxPO＝0﹣0，得 Ep彈2＝20J，此時坐標值為0

由動能定理表達式可知，Ep彈與x是線性函數圖象，如圖。