Question

【題目】如圖所示，粗糙水平面上放置一個質量M＝2 kg、長度L＝ 5 m的木板A，可視為質點的物塊B放在木板A的最左端，其質量m＝1 kg。已知A、B間動摩擦因數為μ1＝0.2，A與水平地面間的動摩擦因數為μ2＝0.4。開始時A、B均處于靜止狀態，當B獲得水平向右的初速度v0＝8 m/s的同時，對A施加水平向右的恒力F，取g＝10 m/s2，求：

(1)為使物塊B不從木板A的右端滑出，力F的最小值為多大？

(2)若F＝22 N，則物塊B的最大速度為多大？

Answer 1

【答案】（1）18.8N（2）10m/s

【解析】（1）物塊B在木板A上做勻減速直線運動，由牛頓第二定律可知：

μ1mg＝ma1

解得：a1＝2m/s2

物塊B滑到A的右端時A、B速度相等，則物塊B剛好不從木板A的右端滑出，A、B相對位移為木板長L，木板A的加速度為a2 ，由速度公式和位移公式可知：

木板A的速度為：v＝ a2t

物塊B的速度為：v＝v0－a1t

木板A的位移為：

物塊B的位移為：

A、B的相對位移為木板長L： L＝xB－xA

聯立以上各式解得：

對木板A，由牛頓第二定律可知：F＋μ1mg－μ2（m＋M）g＝Ma2

解得：F＝18.8N

（2）物塊B在木板A上先做勻減速直線運動，加速度為a1＝2m/s2；木板A做勻加速直線運動。對木板A，由牛頓第二定律可得：

F＋μ1mg－μ2（m＋M）g＝Ma3

解得：a3＝6m/s2

設經過時間t1，A、B兩物體速度相同，大小都為v1

v1＝v0－a1t1

v1＝ a3t1

聯立解得：t1＝1s

v1＝6m/s

在此過程中A、B的位移分別為xA1、xB1，則：

A、B間的相對位移為：Δx1＝xB1－xA1

A、B速度相同后，木板A以a4的加速度繼續勻加速運動，由牛頓運動定律可知：

F－μ1mg－μ2（m＋M）g＝Ma4

解得：a4＝4m/s 2

由于a4＞a1，所以物塊B也向右做勻加速運動，但相對木板A向左運動，經時間t2后物塊B會從木板A的左端滑出，在這段時間內：

木板A的位移為：

物塊B的位移為：

A、B間的相對位移Δx2＝Δx1，則：Δx1＝xA2－xB2

聯立解得：t2＝2s

物塊B從木板A的左端滑出時的速度為：

v3＝v1＋a1t2

解得：v3＝10m/s

物塊B從木板A的左端滑出后落到地面上做勻減速運動，所以整個過程中，物塊B從木板A的左端滑出時的速度為最大速度：10m/s