Question

過山車是游樂場中常見的設施，下圖是一種過山車的簡易模型．它由水平軌道和在豎直平面內的若干個光滑圓形軌道組成，A、B、C…分別是各個圓形軌道的最低點，第一圓軌道的半徑R₁=2.0m，以后各個圓軌道半徑均是前一軌道半徑的k倍(k ="0.8)" ，相鄰兩最低點間的距離為兩點所在圓的半徑之和．一個質量m=1.0kg的物塊（視為質點），從第一圓軌道的左側沿軌道向右運動，經過A點時的速度大小為v₀=12m/s．已知水平軌道與物塊間的動摩擦因數=0.5，水平軌道與圓弧軌道平滑連接． g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．試求：
小題1:物塊經過第一軌道最高點時的速度大小；
小題2:物塊經過第二軌道最低點B時對軌道的壓力大小；
小題3:物塊能夠通過幾個圓軌道？

Answer 1

小題1:8m/s
小題2:77.5N
小題3:通過4個圓軌道

(1)設經第一個軌道最高點的速度為v，由機械能守恒有

即有
(2)設物塊經B點時的速度為v_B，從A到B的過程由動能定理，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
對物塊經B點受力分析，由向心力公式有   
聯立兩式解得　
由牛頓第三定律可知，物塊對軌道的壓力大小為77.5N．　　　　　　　　　　
(3)設物塊恰能通過第n個軌道，它通過第n個軌道的最高點時的速度為v_n，有

對物塊從A到第n個軌道的最高點的全過程由動能定理得

又因為 
由以上三式可整理得
即
將v₀=12m/s，=0.5，R₁=2m，k=0.8，g=10m/s²代入上式，整理得，
即有，解得 　　　　　　　　　　　　
故物塊共可以通過4個圓軌道．