Question

2004年1月，我國月球探測工程經國務院正式批準立項后，該工程被命名為“嫦娥工程”，整個探月工程將分為三期完成，要突破“繞”、“落”和“回”三大關鍵技術．第一顆繞月衛星命名為“嫦娥一號”，并且“嫦娥二號”于2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛星發射中心發射升空，并獲得了圓滿成功．
假設我國在以后的某次探月中，實現了宇航員登錄到月球表面進行科學考察．宇航員到達月球表面后，做了如下實驗：用長為L且不可伸長的輕繩拴一個小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度v₀，使其繞O點的豎直面內做完整的圓周運動，測得最高點繩的拉力恰好為零．若月球半徑R已知，忽略各種阻力．求：
（1）月球表面的重力加速度g
（2）月球的第一宇宙速度v₁
（3）若宇航員完成了對月球表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞月球做圓周運動的軌道艙．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，二者必須具有相同的速度．返回艙在返回過程中需克服月球引力做功W=mgR(1-

R

r

)，式中各量分別為：返回艙與宇航員的總質量為m，月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，軌道艙到月球中心的距離為r，如圖乙所示．不計月球表面大氣等對返回艙的阻力和月球自轉的影響，則該宇航員乘坐的返回艙從月球表面要能返回軌道艙，至少需要獲得動能E_k為多少？

Answer 1

分析：（1）類似于地球上的豎直平面內的圓周運動，重力提供向心力；
（2）是在月球的近地軌道上的速度，萬有引力提供向心力；
（3）返回的過程克服月球的引力做功，可以使用動能定理來解題．

解答：解：（1）設小球的質量為m，在最高點的速度大小為v，則：
小球在最高點有：mg=

mv2

L

  ①
小球從最低點到最高點，有：-mg?2L=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

   ②
聯①②式，解得：g=

v 2 0

5L

…③
（2）依題意可知：

GMm星

R2

=m星

v 2 1

R

…④
又因為：mg=

GMm

R2

…⑤
聯③④⑤式，解得：v1=v0?

R 5L

…⑥
（3）依題意可知：返回艙與軌道艙對接時，設速度為v，
則有：

GMm

r2

=m

v2

r

…⑦
返回艙從月球表面返回至軌道，
由動能定理有：-mgR(1-

R

r

)=

1

2

mv2-Ek…⑧
聯立③⑤⑦⑧，解得：EK=

(2r-R)Rm v 2 0

10rL

點評：該題將豎直平面內的圓周運動與萬有引力定律的應用結合起來，綜合能力較強，要求的思維量也較大，要求我們要減小細致的分析和準確的判斷．