Question

（2013?南寧三模）如圖所示，半徑為r₁，的圓形區域內有勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B₀、方向  垂直紙面向里，半徑為r₂的金屬圓環右側開口處與右側電路相連，已知圓環電阻為R，電阻R₁=R₂=R₃=R，電容器的電容為C，圓環圓心O與磁場圓心重合，一金屬棒MN與金屬環接觸良好，不計棒與導線的電阻，電鍵S₁處于閉合狀態、電鍵S₂處于斷開狀態．
（1）若棒MN以速度v₀沿環向右勻速滑動，求棒滑過圓環直徑的瞬間產生的電動勢和流過R₁的電流；
（2）撤去棒MN后，閉合電鍵S₂，調節磁場，使磁感應強度B的變化率n，n為常數，求電路穩定時電阻R₃在t₀時間內產生的焦耳熱；
（3）在（2）問情形下，求斷開電鍵S₁后流過電阻R₂的電量．

Answer 1

分析：（1）根據棒切割磁感線，從而產生感應電動勢，并由歐姆定律，即可求解；
（2）由法拉第電磁感應定律求出線圈中產生的感應電動勢，由歐姆定律求出感應電流的大小，由楞次定律判斷出感應電流的方向．由公式q=It求出通過電阻R₁上的電量q，由焦耳定律求出電阻R₁上產生的熱量．
（3）斷開電鍵S₁前后電容器兩極板上的電壓發生變化，電容器上電量的變化對于流過電阻R₁和R₂的電量的和．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應定律，則有：E=B₀（2r₁）v₀=2B₀r₁v₀，
MN右側的電路中，圓環部分的電阻是圓環電阻為R的一半（

R

2

），R₁與R₂并聯的電阻是

R

2

，所以MN右側的總電阻是：

R

2

+

R

2

+R=2R．
應用導體棒的電阻不計，所以電路的路端電壓等于電源的電動勢．根據歐姆定律，解得：I=

E

2R

=

B0r1v0

R

，
由于R₁與R₂相等，所以流過R₁上的電流：I₁=

1

2

I=

B0r1v0

2R

（2）由題意可知，0至t時間內 由法拉第電磁感應定律有：
E′=

△Φ

△t

=

△B

△t

S=k?π

r

2 1

由閉合電路歐姆定律有：
I′=

E′

R+ R 2 +R

=

2kπ r 2 1

5R

電阻R₃在t₀時間內產生的焦耳熱：
Q=I′²R?t₀=

4k2π2 r 2 1 t0

25R

（3）S₁閉合時，電容器兩端的電壓等于R₃兩端的電壓，
U₃=I′?R=

2kπ r 2 1

5

S₁斷開后，電容器兩端的電壓等于電源的電動勢E′，
電容器上電量的改變為：△Q=C?△U=C（E′-U₃）=

3kπC r 2 1

5R

由于R₁與R₂相等，所以兩個兩個電阻上的電量相等，流過R₁上的電量：q=

Q

2

=

3kπC r 2 1

10R

．
答：（1）棒滑過圓環直徑的瞬間產生的電動勢2B₀r₁v₀，流過R₁的電流為

B0r1v0

2R

；
（2）電路穩定時電阻R₃在t₀時間內產生的焦耳熱為

4k2π2 r 2 1 t0

25R

；
（3）在（2）問情形下，求斷開電鍵S₁后流過電阻R₂的電量為

3kπC r 2 1

10R

．

點評：本題是法拉第電磁感應定律、歐姆定律、焦耳定律的綜合應用，應用法拉第定律時要注意s是有效面積，并不等于線圈的面積．