Question

【題目】如圖軌道ABCD平滑連接，其中AB為光滑的曲面，BC為粗糙水平面且摩擦因數為μ，CD為半徑為r內壁光滑四分之一圓管，管口D正下方直立一根勁度系數為k的輕彈簧（下端固定，上端恰好與D端齊平）。質量為m的小球在曲面上距BC高為3r的地方由靜止下滑，進入管口C端時與圓管恰好無壓力作用，通過CD后壓縮彈簧，壓縮過程中速度最大時彈簧彈性勢能為EP。求：

（1）水平面BC的長度S；

（2）小球向下壓縮彈簧過程中的最大動能EKm 。

Answer 1

【答案】（1）；（2）。

【解析】試題分析：（1）小球由C到D做圓周運動，進入管口C端時與圓管恰好無壓力作用。

根據牛頓第二定律：

小球從A運動到C點的過程中，由動能定理：

BC間距離

（2）小球從D出來后繼續向下運動，彈力逐漸增大，小球向下做加速度減小的加速運動，加速度減小到零時速度增加到最大，此時小球的重力與彈力相等，此后小球繼續向下運動，彈簧繼續被壓縮，彈力大于重力，小球開始做加速度增大的減速運動，直到速度減小為零。

由上可知有最大速度時，小球加速度為零，設此時為x，根據胡克定律，有

彈簧壓縮量

由C到小球速度最大處，根據能量守恒定律有：

解得小球的最大動能