Question

如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R．有一質量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圓管，問：
（1）若要使小球能從C端出來，初速度v₀，多大？
（2）在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況？初速v₀各應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）當球恰好能從C端出來時，速度為零，根據機械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球為研究對象，小球經過C點時速度不同，管壁對球的作用力大小和方向不同，分析討論：當管壁對球無作用力時，在C點由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出在C點的速度，由機械能守恒定律求出初速v₀．當初速度大于和小于臨界速度時，由向心力知識分析管壁對球的作用力大小和方向．

解答：解：（1）當球恰好能從C端出來時，速度v_C=0．
根據機械能守恒定律得：mg?2R=

1

2

m

v

2 0

，解得v0=2

gR

所以要使小球能從C端出來，初速度v₀≥2

gR

．
（2）在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有三種典型情況：
①當管壁對球無作用力時，即N=0時，由mg=m

v 2 C

R

，v_C=

gR

，根據機械能守恒定律得mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

5gR

．
②當管壁對球的作用力方向向下時，球對管壁的壓力方向向上，此時v₀＞

5gR

③當管壁對球的作用力方向向上時，球對管壁的壓力方向向下，此時2

gR

≤v₀＜

5gR

答：（1）要使小球能從C端出來，初速度v₀≥2

gR

．
    （2）在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有三種典型情況：
①球對管壁無作用力，v₀=

5gR

．
②球對管壁的壓力方向向上，v₀＞

5gR

．
③球對管壁的壓力方向向下，2

gR

≤v₀＜

5gR

．

點評：本題是機械能守恒定律與向心力知識的結合，考查綜合應用物理規律的能力．對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點和在最高點恰好不受管壁作用力兩種情況．