Question

如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細線AB水平，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質量m=1kg，細線AC長L=1m，B點距C 點的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

）

（1）若裝置勻速轉動的角速度為ω₁時，細線AB上的張力為零而細線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若裝置勻速轉動的角速度ω2=

50 3

rad/s，求細線AC與豎直方向的夾角；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉動，試通過計算在坐標圖2中畫出細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系圖象．（計算過程可在草稿紙上完成）

Answer 1

分析：（1）細線AB上張力恰為零時小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大小．
（2）ω2=

50 3

rad/s＞ω1=

50 4

rad/s時，細線AB松弛，根據小球重力和拉力的合力提供向心力求出細線AC與豎直方向的夾角．
（3）根據牛頓第二定律分別求出ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時、ω₁≤ω≤ω₂時、ω＞ω₂時拉力的大小，從而確定細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系，并作出圖象．

解答：解（1）細線AB上張力恰為零時有mgtan37°=m

ω

2 1

lsin37°
解得    ω1=

g lcos37°

=

50 4

rad/s=

5

2

2

rad/s
（2）ω2=

50 3

rad/s＞ω1=

50 4

rad/s時，細線AB應松弛mgtanθ′=m

ω

2 2

lsinθ′
解得     cosθ′=

3

5

θ'=53°此時細線AB恰好豎直，但張力為零．
（3）ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時，細線AB水平，細線AC上張力的豎直分量等于小球的重力Tcosθ=mg
T=

mg

cosθ

=12.5N
ω₁≤ω≤ω₂時細線AB松弛
細線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運動需要的向心力Tsinθ=mω²lsinθ      T=mω²l
ω＞ω₂時，細線AB在豎直方向繃直，仍然由細線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運動需要的向心力
    Tsinθ=mω²lsinθ     T=mω²l
綜上所述 ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時，T=12.5N不變
ω＞ω₁時，T=mω²l=ω²（N）T-ω²關系圖象如圖所示．
答：（1）角速度ω₁的大小為

5 2

2

rad/s．
（2）細線AC與豎直方向的夾角為53°．
（3）細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系圖象如圖．

點評：解決本題的關鍵理清小球做圓周運動的向心力來源，確定小球運動過程中的臨界狀態，運用牛頓第二定律進行求解．