Question

【題目】簡諧運動是一種理想化的運動模型，是機械振動中最簡單、最基本的振動。它具有如下特點：

1）簡諧運動的物體受到回復力的作用，回復力F回的大小與物體偏離平衡位置的位移x成正比，回復力的方向與物體偏離平衡位置的位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k為振動系數，其值由振動系統決定；

2）簡諧運動是一種周期性運動，其周期與振動物體的質量的平方根成正比，與振動系統的振動系數的平方根成反比，而與振幅無關，即： 。

試論證分析如下問題：

（1）如圖甲，擺長為L、擺球質量為m的單擺在AB間做小角度的自由擺動，當地重力加速度為g。

a. 當擺球運動到P點時，擺角為θ，畫出擺球受力的示意圖，并寫出此時刻擺球受到的回復力F回大小；

b. 請結合簡諧運動的特點，證明單擺在小角度擺動時周期為。

（提示：用弧度制表示角度，當角θ很小時，sinθ ≈ θ，θ角對應的弧長與它所對的弦長也近似相等）

（2）類比法、等效法等都是研究和學習物理過程中常用的重要方法。長為L的輕質絕緣細線下端系著一個帶電量為+q，質量為m的小球。將該裝置處于場強大小為E的豎直向下的勻強電場中，如圖乙所示；將該裝置處于磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里的勻強磁場中，如圖丙所示。帶電小球在乙、丙圖中均做小角度的簡諧運動。請分析求出帶電小球在乙、丙兩圖中振動的周期。

（3）場是物理學中重要的概念，除了電場和磁場，還有引力場。物體之間的萬有引力就是通過引力場發生作用的，地球附近的引力場叫做重力場。

a. 類比電場強度的定義方法，定義“重力場強度”，并說明兩種場的共同點（至少寫出兩條）；

b. 類比電場中的電場線，在圖丁地球周圍描繪出“重力場線”。

Answer 1

【答案】(1) a: b:略 (2) , ,

(3) ①都是一種看不見的特殊物質；②場強都是矢量，既有大小，又有方向；③兩種場力做功都與路徑無關，可以引入“勢”的概念；④保守力做功的過程，都伴隨著一種勢能的變化；⑤都可以借助電場線（重力場線）、等勢面（等高線）來形象描述場

【解析】（1）a.單擺受力分析

b. 因為

當θ很小時， ，θ等于θ角對應的弧長與半徑的比值

當θ很小時，弧長PO近似等于弦長，即擺球偏離平衡位置的位移x：

振動系數

k代入簡諧運動周期公式：

單擺周期公式：

（2）圖乙中，擺球受到重力G、電場力F電和擺線拉力T，與重力場中的單擺類比，

等效的“重力” ，

帶入單擺周期公式得：

圖丙中，擺球受到重力G、洛倫茲力F洛和擺線拉力T，與重力場中的單擺類比,

洛倫茲力始終沿擺線方向，不產生回復力的效果

單擺周期與重力場中相同，

（3）a．處在重力場中某點的物體所受的重力與物體質量的比值，叫做該點的重力場強度。用g表示，定義式：

兩種場的共同點：

①都是一種看不見的特殊物質；②場強都是矢量，既有大小，又有方向；③兩種場力做功都與路徑無關，可以引入“勢”的概念；④保守力做功的過程，都伴隨著一種勢能的變化；⑤都可以借助電場線（重力場線）、等勢面（等高線）來形象描述場；

b.如圖為重力場分布情況。