Question

直立輕彈簧的下端與水平地面上質量為M=0.20kg的甲木塊與連接，輕彈簧上端靜止于A點（如圖甲），再將質量也為M=0.20kg乙木塊與彈簧的上端連接，當甲、乙及彈簧均處于靜止狀態時，彈簧上端位于B點（如圖乙）．現向下壓乙，當彈簧上端下降到C點時將彈簧鎖定，這時C、A兩點間的距離為△l=6.0cm．一個質量為m=0.10kg的小球丙從距離乙正上方h=0.45m處自由落下（如圖丙），當丙與乙剛接觸時，彈簧立即被解除鎖定，丙與乙發生彈性碰撞（碰撞時間極短，丙、乙間的作用力遠大于重力和彈簧彈力），碰撞后立即取走小球丙．當甲第一次剛離開地面時乙的速度為v=2.0m/s．求：
（1）碰撞剛結束的瞬間，丙球、乙木塊的速度v₁、v₂的大小和方向；
（2）放上乙物體后，平衡時彈簧上端B點（圖2中）到A點的距離x₁；
（3）從彈簧被解除鎖定至甲第一次剛離開地面時，彈簧彈性勢能的改變量△E_P．（g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）根據丙做自由落體運動求出碰撞前丙的速度，以乙和丙組成的系統為研究對象，系統動量守恒，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列方程求解．
（2）對乙研究，碰后，乙立即以2m/s的速度從C點向下運動，從此時起直到甲第一次剛離開地面前，乙在自身重力和彈簧彈力的共同作用下以B點為平衡位置做簡諧運動．由于甲第一次剛離開地面時乙的速度為v=2.0m/s，v和v₂等大反向．根據簡諧振動的對稱性和胡克定律列方程求解．
（3）根據功能關系，系統重力勢能的增加量△E_重等于彈性勢能的減少量△E_彈列方程求解．

解答：解：（1）規定豎直向下為正方向，設丙自由下落h時速度為v₀，根據自由落體運動規律有：
 v0=

2gh

=3.0m/s
解除鎖定后，乙與丙發生彈性碰撞，設碰后乙、丙的速度分別為v₂、v₁，
由動量守恒mv₀=Mv₂+mv₁
根據機械能守恒  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

M

v

2 2

+

1

2

m

v

2 1

解得v₂=2.0m/s，v₁=-1.0m/s 
所以v₁=1m/s，豎直向上；v₂=2m/s，豎直向下．
（2）碰后，乙立即以2m/s的速度從C點向下運動，從此時起直到甲第一次剛離開地面前，乙在自身重力和彈簧彈力的共同作用下以B點為平衡位置做簡諧運動．
當乙第一次回到平衡位置B時，彈簧相對原長的壓縮量（圖乙）
x1=

Mg

k

當甲第一次剛離開地面時，彈簧相對原長的伸長量（圖丙）
x2=

Mg

k

由于甲第一次剛離開地面時乙的速度為v=2.0m/s，v和v₂等大反向，
所以根據簡諧振動的對稱性可知
x₁+x₂=△l-x₁
故x₁=x₂=2.0cm．
（3）從碰撞結束至甲第一次剛離開地面時，對于乙和彈簧組成的系統，動能變化量為
  △EK=

1

2

Mv2-

1

2

M

v

2 乙

=0
根據功能關系，系統重力勢能的增加量△E_重等于彈性勢能的減少量△E_彈
即：△E_彈=△E_重
而重力勢能的增加量為：
△E_重=Mg（x₂+△l）
所以彈簧彈性勢能的減少量為：△E_彈=Mg（x₂+△l）=0.16J
答：（1）碰撞剛結束的瞬間，丙球的速度為1m/s，方向豎直向上，乙木塊的速度為2m/s，方向豎直向下．
（2）放上乙物體后，平衡時彈簧上端B點（圖2中）到A點的距離x₁為2.0cm．
（3）從彈簧被解除鎖定至甲第一次剛離開地面時，彈簧彈性勢能的改變量△E_P為0.16J．

點評：此題要用動量守恒定律和機械能守恒定律聯合列方程求解，既要分析動量是否守恒，又要分析機械能是否守恒，同時還要熟練掌握簡諧運動的知識．此題對能力要求較高，屬于難題．