Question

【題目】如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態，直軌道與一半徑為的光滑圓弧軌道相切于C點，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內。質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低到達E點（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高點到達F點，AF=4R，已知P與直軌道間的動摩擦因數，重力加速度大小為g。（取）

（1）求P第一次運動到B點時速度的大小。

（2）求P運動到Ｅ點時彈簧的彈性勢能。

（3）改變物塊P的質量，將P推至E點，從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好通過G點。G點在C點左下方，與C點水平相距、豎直相距R，求P運動到D點時速度的大小和改變后P的質量。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】（1）根據題意知，B、C之間的距離l為l=7R–2R①

設P到達B點時的速度為vB，由動能定理得②

式中θ=37°，聯立①②式并由題給條件得③

（2）設BE=x。P到達E點時速度為零，設此時彈簧的彈性勢能為Ep。P由B點運動到E點的過程中，由動能定理有④

E、F之間的距離l1為l1=4R–2R+x⑤

P到達E點后反彈，從E點運動到F點的過程中，由動能定理有Ep–mgl1sin θ–μmgl1cos θ=0⑥

聯立③④⑤⑥式并由題給條件得x=R⑦

⑧

（3）設改變后P的質量為m1。D點與G點的水平距離x1和豎直距離y1分別為⑨

⑩

式中，已應用了過C點的圓軌道半徑與豎直方向夾角仍為θ的事實。

設P在D點的速度為vD，由D點運動到G點的時間為t。由平拋運動公式有

x1=vDt

聯立⑨⑩式得

設P在C點速度的大小為vC。在P由C運動到D的過程中機械能守恒，有

P由E點運動到C點的過程中，同理，由動能定理有

聯立⑦⑧式得