Question

（18分）如右圖所示，在豎直面內有一個光滑弧形軌道，其末端水平，且與處于同一豎直面內光滑圓形軌道的最低端相切，并平滑連接。A、B兩滑塊（可視為質點）用輕細繩拴接在一起，在它們中間夾住一個被壓縮的微小輕質彈簧。兩滑塊從弧形軌道上的某一高度由靜止滑下，當兩滑塊剛滑入圓形軌道最低點時拴接兩滑塊的繩突然斷開，彈簧迅速將兩滑塊彈開，其中前面的滑塊A沿圓形軌道運動恰能通過軌道最高點。已知圓形軌道的半徑R=0.50m，滑塊A的質量m_A=0.16kg，滑塊B的質量m_B=0.04kg，兩滑塊開始下滑時距圓形軌道底端的高度h=0.80m，重力加速度g取10m/s²，空氣阻力可忽略不計。

試求：（1）A、B兩滑塊一起運動到圓形軌道最低點時速度的大小；
（2）滑塊A被彈簧彈開時的速度大小；
（3）彈簧在將兩滑塊彈開的過程中釋放的彈性勢能。

Answer 1

（1）4.0m/s（2）5.0 m/s（3）0.40J

（1）設滑塊A和B運動到圓形軌道最低點速度為v₀，對滑塊A和B下滑到圓形軌道最低點的過程，根據動能定理，有
（m_A+m_B）gh=（m_A+m_Bv₀²  ………………………………（2分）
解得       v₀="4.0m/s"   ………………………………（2分）
（2）設滑塊A恰能通過圓形軌道最高點時的速度大小為v，根據牛頓第二定律有       m_Ag=m_Av²/R ………………………………（2分）
設滑塊A在圓形軌道最低點被彈出時的速度為v_A，對于滑塊A從圓形軌道最低點運動到最高點的過程，根據機械能守恒定律，有
m_Av_A²=m_Ag?2R+m_Av²  ………………………………（2分）
代入數據聯立解得：v_A="5.0" m/s ………………………………（2分）
（3）對于彈簧將兩滑塊彈開的過程，A、B兩滑塊所組成的系統水平方向動量守恒，設滑塊B被彈出時的速度為v_B，根據動量守恒定律，有
（m_A+m_B）v₀=m_A v_A+ m_Bv_B   ………………………………（2分）
解得： v_B=0          ………………………………（2分）
設彈簧將兩滑塊彈開的過程中釋放的彈性勢能為E_p，對于彈開兩滑塊的過程，根據機械能守恒定律，有  （m_A+m_B）v₀² + E_p=m_Av_A² ………………………………（2分）
解得：E_p=0.40J         ………………………………（2分）