Question

【題目】有電阻的導電圓盤半徑為R，其邊緣用電阻不計的導電材料包裹，可繞固定點O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其軸心O和邊緣處電刷A均不會在轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生阻力，空氣阻力也忽略不計。用導線將電動勢為Ｅ的電源、導電圓盤、電阻和開關(guān)連接成閉合回路，如圖甲所示在圓盤所在區(qū)域內(nèi)充滿豎直向下的勻強磁場，如圖乙所示只在A、O之間的一塊圓形區(qū)域內(nèi)存在豎直向下的勻強磁場，兩圖中磁場的磁感應強度大小均為B，且磁場區(qū)域固定。如果將開關(guān)S閉合，圓盤將會轉(zhuǎn)動起來。

（1）在圖甲中，將開關(guān)S閉合足夠長時間后，圓盤轉(zhuǎn)速達到穩(wěn)定。

a．從上往下看，圓盤的轉(zhuǎn)動方向是順時針還是逆時針？

b．求穩(wěn)定時圓盤轉(zhuǎn)動的角速度的大小。

（2）在圖乙中，進行了兩次操作：第一次，當圓盤加速到時將開關(guān)斷開，圓盤逐漸減速停下；第二次，當圓盤加速到時將開關(guān)斷開，圓盤逐漸減速停下。已知從理論上可以證明：在圓盤減速過程中任意一個極短的時間內(nèi)，角速度的變化量，F是該時刻圓盤在磁場區(qū)域受到的安培力的大小，k為常量。求兩次操作中從開始減速到停下的過程中圓盤轉(zhuǎn)過的角度之比。

（3）由于圖甲中的磁場范圍比圖乙中的大，所以剛閉合開關(guān)瞬時，圖甲中圓盤比圖乙中圓盤加速得快。有人認為：斷開開關(guān)后，圖甲中圓盤也將比圖乙中圓盤減速得快。請分析說明這樣的想法是否正確。

Answer 1

【答案】（1）a. 逆時針方向 b. (2) θ1:θ2=1:2 (3)錯誤

【解析】試題分析（1）根據(jù)右手定則可以確定圓盤的轉(zhuǎn)動方向，根據(jù)法拉電磁感應定律可以求角速度；（2）根據(jù)角度與角速度的關(guān)系式進行求解即可；（3）根據(jù)渦流產(chǎn)生原理進行分析。

（1）a . 從上往下看，圓盤的轉(zhuǎn)動方向是逆時針方向。

b．圓盤轉(zhuǎn)動時，產(chǎn)生沿半徑方向的感應電動勢，在與軸O距離為r處沿半徑方向取一小段長度Δr，這一小段距離上的感應電動勢，從軸O到圓盤邊緣處求和

可得感應電動勢

當轉(zhuǎn)動穩(wěn)定后，圓盤的感應電動勢（即反電動勢）與電源電動勢相等

因此有

解得：

（2）圖乙中開關(guān)斷開圓盤減速時，由于磁場區(qū)域固定，所以仍有圓盤的感應電動勢，且可認為圓盤中電流流經(jīng)的路徑及電阻不變

因此安培力，即安培力F與角速度ω成正比

由題意知：在任意一段極短的時間內(nèi)，角速度的變化量

考慮到其中，可知（為另一常量）

又因為（圓盤轉(zhuǎn)過角度的變化量）

因此有：對應任一小段時間，總有

所以，從開始減速到停下的這段時間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)過的角度正比于其角速度的改變量，即。

（3）開關(guān)斷開后，由于圖甲中磁場充滿整個圓盤，使得圓盤沿每條半徑方向的感應電動勢都一樣大，電荷只在盤心和盤邊緣處積累，不會在圓盤內(nèi)部形成電流（渦流），因此在開關(guān)斷開后，只要沒有其它的阻力，圓盤將勻速轉(zhuǎn)動不會減速。圖乙中由于磁場存在于圓盤中的一部分區(qū)域內(nèi)，使得開關(guān)斷開后，仍有電流在圓盤內(nèi)部形成回路（渦流），進而引起安培力使圓盤減速。因此這樣的想法錯誤。