Question

一足夠長的矩形區域abcd內有磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad寬為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v，方向與ad邊夾角為θ=30°，如圖所示．已知粒子的電荷量為q，質量為m（重力忽略不計）．
（1）若粒子帶負電，且恰好能從d點射出磁場，求v的大小；
（2）若粒子帶正電，使粒子能從ab邊射出磁場，求v的取值范圍，以及此范圍內粒子在磁場中運動時間t的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結合幾何關系可確定半徑的范圍，即可求解；
（2）根據題意確定運動軌跡，再由圓心角與周期公式，即可確定最長運動的時間；根據半徑公式與半徑的取值，即可求解．
解答：解：（1）若粒子帶負電，且恰好能從d點射出磁場，它運動的軌跡如圖1，

則運動的半徑：，
運動的過程洛倫茲力提供向心力，得：
整理得：
（2）若粒子帶正電，粒子運動的軌跡如右圖所示，當粒子的速度大于與R₁相對應的速度v₁時，粒子將從dc邊射出．
由幾何關系可得：R₁=L ①
由洛侖茲力和向心力公式可得：  ②
當粒子的速度小于與R₂相對應的速度v₂時，粒子將從ad邊射出．
由幾何關系可得：  ③
由③式解得：    ④
由洛侖茲力和向心力公式可得：   ⑤
將①④式分別代入②⑤式可解得：；    ⑥
所以v的取值范圍是    ⑦
從圖中可以看出，當軌跡的半徑對應R 1時從ab邊上射出使用的時間最短，此時對應的圓心角為：θ=180°-30°=150°
由公式可得：⑧
根據周期與運動時間的關系得：
整理得：  ⑨
粒子在磁場中運動的時間最長，其做圓周運動的圓心角必然最大，在答圖中，當粒子的速度小于v₂時，粒子從ad邊的不同位置射出時，其半徑雖不同，但圓心角的夾角都是，所以粒子在磁場中的運動時間也是，此即粒子在磁場中運動的最長時間．
所以粒子運動的最長時間為： ⑩
與粒子在磁場中運行時間相對應的t的大小范圍是：
答：（1）（2）v的取值范圍，粒子在磁場中運動時間t的范圍．
點評：考查牛頓第二定律的應用，掌握幾何關系在題中的運用，理解在磁場中運動時間與圓心角的關系．注意本題關鍵是畫出正確的運動軌跡．